Как измерить стороны треугольника циркулем
Построение треугольника по трем элементам в геометрии
Как построить треугольник по трем элементам в геометрии
Треугольник — геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не принадлежащих одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих данные точки.
В определении треугольника точки представляют собой вершины, а отрезки — являются его сторонами.
При определении расстояния от точки до прямой необходимо учитывать нескольких ключевых принципов:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определить расстояние, на которое удалены друг от друга параллельные прямые, можно, исходя из того, что каждая из точек этих прямых равноудалена от другой параллельной прямой. Таким образом, расстояние между двумя параллельными прямыми соответствует длине перпендикуляра, который опущен из какой-либо точки, расположенной на одной прямой, на другую прямую.
При построении треугольника по трем элементам необходимо использовать следующие навыки:
Какие элементы могут быть для этого использованы
Смысл задачи на построение какой-либо геометрической фигуры заключается в том, что требуется с помощью линейки и циркуля построить тот или иной объект, согласно заданным исходным условиям. Общие принципы решения подобных заданий:
Построение треугольника по трем сторонам
Изобразить данную геометрическую фигуру с тремя углами можно по трем ее сторонам. Предположим, что существуют отрезки a, b, c, которые соответствуют сторонам искомого треугольника. По условиям задания требуется построить треугольник со сторонами, соответствующими рассматриваемым отрезкам.
В первую очередь следует доказать неравенство треугольника, то есть определить, что длина любого из отрезков меньше, чем сумма длин двух других отрезков. В случае удовлетворения этого условия допустимо, что рассматриваемые отрезки являются сторонами треугольника.
Исходя из признака равенства треугольников по трем сторонам, изображенный треугольник совпадает со всеми треугольниками, обладающими данными сторонами.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Предположим, что существуют два отрезка a и b, которые соответствуют сторонам треугольника. Также имеется угол 1, который равен углу треугольника, расположенного между его сторонами. Необходимо изобразить треугольник с элементами, аналогичными тем, что даны в условии.
Порядок действий при построении треугольника по двум сторонам и углу между ними следующий:
Исходя из признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, геометрическая фигура, построенная в соответствии с алгоритмом, равна всем треугольникам, которые обладают такими же элементами.
По известной стороне и двум прилежащим к ней углам
Построение треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, начинается с изучения условий задания. Согласно задаче, имеется отрезок а и пара углов 1 и 2, которые равны углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Требуется изобразить треугольник с элементами, аналогичными заданному отрезку и углам.
Действия необходимо выполнять в следующем порядке:
По признаку равенства треугольников по стороне и паре углов, которые прилегают к ней, изображенный треугольник равен всем треугольникам, имеющим данные элементы.
Как построить треугольник по трем элементам с помощью циркуля
Изобразить треугольник, зная три его элемента, можно с помощью циркуля. К примеру, имеется три стороны в виде отрезков МК, ОЕ, FG, по которым необходимо построить треугольник АВС. При этом должно соблюдаться условие:
АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ
Используя линейку, следует провести прямую а. На данной прямой с помощью циркуля нужно отложить отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В процессе на прямой а можно отметить некую точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Строить окружность полностью нет необходимости, достаточно изобразить дугу, как показано на рисунке. Точку, в которой окружность пересекает прямую а можно обозначить, как В.
С помощью циркуля нужно измерить отрезок ОЕ и построить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус соответствует отрезку ОЕ. Дуга выделена на изображении синим цветом.
На следующем этапе, используя циркуль, можно измерить отрезок FG, чтобы построить окружность. Центр данной окружности совпадает с точкой В, а ее радиус соответствует отрезку FG. На рисунке дуга выделена зеленым цветом.
Точка, в которой пересекаются окружности с центрами А и В, радиусами ОЕ и FG, следует обозначить, как С. С помощью линейки удобно соединить точки А, В и С. В результате получилось построить геометрическую фигуру в виде треугольника АВС, в котором:
АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ
Так как условия задания соблюдены, изображенный треугольник является искомым.
Важно отметить, что подобное задание не во всех случаях имеет решение. Причина заключается в необходимости выполнения неравенства треугольника для каждого треугольника, то есть в каком-либо треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны. В том случае, когда один отрезок из заданных условием больше или равен сумме двух других, построить треугольник со сторонами, соответствующими данным отрезкам, не представляется возможным.
Изобразить треугольник с помощью циркуля можно, когда известны две стороны и угол между ними. К примеру, существуют отрезки МК и ОЕ, а также угол hk. Необходимо построить треугольник АВС при условии, что:
АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk
Используя линейку, нужно провести прямую а и отложить на ней циркулем отрезок АВ, который соответствует отрезку МК. В данном случае необходимо в любой части прямой а поставить точку А. Далее с помощью циркуля можно измерить отрезок МК и построить окружность с центром в точке А и радиусом, равным МК. Точку, в которой окружность пересекает прямую, можно обозначить, как В. На рисунке дуга данной окружности выделена красным цветом.
На втором этапе требуется изобразить угол BAF, который соответствует углу hk. В процессе, используя циркуль, нужно построить окружность с радиусом МК и центром, который совпадает с вершиной угла hk. Допустимо изобразить лишь дугу этой окружности, которая на рисунке отмечена красным цветом. Точки, в которых окружность пересекает стороны угла hk, следует обозначить, как N и P.
Циркулем можно измерить длину отрезка NP и построить окружность с радиусом NP и центром в точке В. На изображении полученная дуга выделена синим цветом. Точкой F следует обозначить точку, в которой построенная окружность пересекает окружность с радиусом МК и центром в точке А.
Далее нужно построить луч AF, используя обычную линейку.
Затем с помощью циркуля удобно измерить отрезок ОЕ и построить с соответствующим радиусом окружность, центр которой совпадает с точкой А. На рисунке дуга этой окружности изображена зеленым цветом. Точка С является точкой, в которой пересекается окружность с лучом AF.
В конце следует соединить точки В и С с помощью линейки. В результате удалось построить треугольник АВС, в котором:
АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС = hk
Таким образом, условия задания выполнены, и треугольник является искомым.
Следует заметить, что при любых МК и ОЕ и неразвернутом угле hk построение искомого треугольника возможно. Прямую а и точку А допустимо выбирать произвольно. Таким образом, имеется бесконечное множество треугольников, которые соответствуют условию задания. Все эти треугольники будут взаимно равны, исходя из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В связи с этим, можно заключить, что данная задача имеет единственное решение.
При построении треугольника по стороне и двум углам, которые к ней прилегают, можно воспользоваться линейкой и циркулем.
К примеру, по условию задачи имеется отрезок МК, а также пара углов 1 и 2. Требуется изобразить такой треугольник АВС, в котором:
АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2
Решение задачи следует начинать с построения прямой а при помощи обычной линейки. Используя циркуль, можно отметить на этой прямой отрезок АВ, который совпадает по длине с отрезком МК. На прямой а нужно поставить точку А. После измерения циркулем отрезка МК требуется изобразить окружность, центр которой совпадает с точкой А, а радиус равен МК. Окружность не обязательно строить полностью, достаточно дуги, представленной на рисунке красным цветом. Точка В будет обозначать точку пересечения окружности и прямой а.
Второй шаг заключается в построении угла BAF, который идентичен углу 1. При этом, используя циркуль, следует изобразить окружность с радиусом МК и центром, совпадающим с вершиной угла 1. На изображении дуга показана красным цветом. Точки, в которых пересекаются окружность и стороны угла 1, можно обозначить за N и P.
Циркулем удобно измерить длину отрезка NP. Далее остается построить окружность с радиусом, соответствующим данному отрезку, и центром в точке В. На изображении такая окружность выделена синим цветом. Точкой F можно обозначить точку, в которой пересекается окружность радиуса NP с окружностью радиуса МК с центром в точке А.
Затем необходимо построить луч АF, используя линейку.
На следующем шаге можно изобразить угол АВD, который соответствует углу 2. В процессе следует, применяя циркуль, начертить окружность с радиусом МК и центром, который соответствует вершине угла 2. На рисунке дуга данной окружности обозначена красным цветом. Точки О и Е соответствуют местам пересечений построенной окружности со сторонами угла 2.
Затем нужно циркулем построить окружность с радиусом МК и центром в точке В, которая отмечена красным цветом на изображении. Далее необходимо определить, какова длина отрезка ОЕ, и построить окружность с соответствующим радиусом и центром в точке А. На рисунке дуга этой окружности выделена синим цветом. Точка D является точкой, в которой пересекаются построенные окружности.
С помощью линейки нужно отметить луч BD.
Точку, в которой пересекаются лучи AF и BD, можно обозначить С. В результате построен треугольник АВС, который соответствует следующим условиям:
АВ = МК, ВАС = 1, АВС = 2
Можно сделать вывод, что изображенный треугольник является искомым.
Рассмотренный пример не во всех случаях будет иметь решение. К примеру, согласно теореме о сумме углов треугольника: сумма углов любого треугольника составляет 180 градусов. Следовательно, два угла по условию в сумме должны быть меньше, чем 180 градусов. В противном случае, нельзя построить треугольник, углы которого равнялись бы данным углам.
Решение задач на построение треугольника по трем элементам
Существует некая сторона треугольника ВС, к которой прилегают углы \alpha и \beta. Необходимо построить треугольник по трем известным элементам.
Пусть углы треугольника АВС соответствуют следующему условию:
Можно составить план действий, согласно стандартному алгоритму:
В процессе доказательства следует рассмотреть изображение треугольника. Можно прийти к выводу, что условия задачи выполнены. Заданные углы могут быть построены и в противоположную сторону, соответственно можно изобразить второй треугольник. Однако, так как он аналогичен первому, можно заключить, что задача имеет единственное решение. В том случае, когда углы \alpha и \beta равны или больше, чем 180 градусов, задача не имеет решения.
Даны три стороны треугольника АВ, АС и ВС. Необходимо построить треугольник.
В процессе анализа условий задания можно составить план решения:
Полученная геометрическая фигура соответствует условиям задачи. Изображенные окружности обладают двумя точками пересечения, что позволяет построить еще один треугольник. Он будет аналогичен первому, поэтому у задачи есть одно единственное решение. С учетом того, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей его стороны, можно заключить следующее: при невыполнении данного условия для заданных сторон задача не будет иметь решение.
У треугольника имеется две стороны АВ и АС, а также угол \alpha между ними. Требуется изобразить треугольник.
Порядок действий следующий:
В результате получится треугольник:
Согласно изображенной геометрической фигуре, можно сделать вывод о выполнении условий задания. Прямая а является бесконечной. По этой причине можно начертить множество подобных треугольников. Исходя из того, что все они будут одинаковы, сделаем вывод о единственном решении задачи. В том случае, когда угол \alpha будет равен или больше 180 градусов, у задания не будет ответа, так как сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов.
Как начертить равносторонний треугольник
Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.
На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.
Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.
При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.
Отметьте точки пересечения окружностей.
Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.
Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.
Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.
Соедините все три точки между собой.
Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.
Как построить высоту треугольника — основные способы
Для решения многих геометрических задач учащемуся нужно уметь быстро построить высоту треугольника. Сделать это можно несколькими простыми для восприятия способами, которые подходят для фигуры разной формы и размера. Весь процесс состоит из определённой последовательности действий, правильно выполнить которые сможет каждый школьник.
С применением циркуля
Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.
Способ начертить искомый отрезок:
Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.
С помощью линейки
Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.
В остроугольном треугольнике
Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.
Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.
Правильная последовательность действий:
В тупоугольной фигуре
Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.
Порядок действий:
В прямоугольном и равнобедренном
В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.
Пошаговая инструкция:
Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.
Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:
Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.
Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.
С применением циркуля
Если нужно нарисовать высоту (перпендикуляр к противоположной стороне) в произвольном треугольнике и измерить её, то лучше всего воспользоваться классическим методом построения. Он предусматривает использование циркуля в качестве основной рабочей принадлежности. Кроме этого, для работы понадобится лист бумаги, небольшая линейка, ластик и простой карандаш.
Способ начертить искомый отрезок:
Таким же способом можно с помощью циркуля построить высоту треугольника из любого другого угла.
С помощью линейки
Начертить и обозначить высоту можно и без циркуля. Для этого следует воспользоваться чертёжным угольником, 2 стороны которого перпендикулярны друг другу. Альтернативой этой школьной принадлежности могут стать 2 прямые линейки, соединённые между собой под прямым углом.
В остроугольном треугольнике
Провести высоту в треугольнике, где все углы острые (менее 90 градусов), довольно просто.
Чтобы справиться с этой задачей, нужно подготовить все необходимое и заранее начертить на бумаге геометрическую фигуру.
Правильная последовательность действий:
В тупоугольной фигуре
Трёхсторонняя фигура, у которой один из углов тупой (более 90 градусов) имеет только 1 внутреннюю высоту. Для её проведения используют то же, что и в предыдущем случае.
Порядок действий:
В прямоугольном и равнобедренном
В прямоугольном треугольнике нужно находить только 1 высоту. Две другие будут совпадать с катетами.
Пошаговая инструкция:
Проще всего проводить перпендикуляр из верхней точки равнобедренного треугольника.
Он будет совпадать с биссектрисой и медианой фигуры. Начертить его можно таким же способом, что и для остроугольной фигуры. Более простой метод предусматривает выполнение следующих действий:
Проведение высоты в треугольнике — это простая задача, с которой легко справится каждый ученик.
Для этого достаточно сделать чертёж геометрической фигуры и воспользоваться одним из существующих способов построения. Такая работа потребует минимум времени и не отнимет у школьника много сил.