Как можно решить кубическое уравнение

Кубические уравнения. Метод перебора при решении кубических уравнений.

Метод перебора при решении кубических уравнений получил самую широкую известность. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему.

Первоначально подберем один из корней уравнения использовав то свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d.

Коэффициенты этих уравнений, как правило, подобраны так, что требуемый корень есть небольшое целое число, такое как: 0, ± 1, ± 2, ± 3.

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение.

Примем данный корень за x ₁.

На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x ₁.

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени, который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) два других корня.

Проанализируем ход решения уравнения: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0.

Найдем первый корень, подставляя в уравнение цифры: 0, ± 1, ± 2, ± 3 получаем, что 1 является корнем. Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1, и получим:

Источник

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Источник

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ответ:

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Решение

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

Решение

Отсюда следует, что

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Источник

История и формулировки

Кубические уравнения составлялись ещё в Древней Греции и Египте. Археологами были найдены клинописные таблицы XVI века до нашей эры, содержащие описание возможного их решения. Вычислением кубов занимался Гиппократ, пытавшийся свести задачу к нахождению отрезков с помощью чертёжных инструментов. Архимед использовал для поиска ответа пересечение двух конусов.

Впервые методы решения такого рода уравнений были описаны в китайском учебнике «Математика в девяти книгах», составленном во втором столетии до нашей эры. В седьмом веке Омар Хайям на основании своих работ приходит к выводу, что решение уравнений третьей степени может иметь более одного ответа.

Математик Шараф ад-Дин публикует тракт об уравнениях, в котором описывает восемь различных типов кубических выражений, имеющих положительное решение. В своих вычислениях он использует численную аппроксимацию. Учёный не только разработал подход для решения с использованием производной функции и экстремумов, но и понял важность дискриминанта многочлена при нахождении кубов.

В 1530 году итальянский математик Никколо Тарталья разрабатывает методику решения, которой он после поделился с Джероламо Кардано. Согласно этому способу нужно было извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Параллельно с этими исследованиями, основоположник символической алгебры Франсуа Виет, предлагает свой способ решения кубического равенства с тремя корнями. Позднее его работу описал и обосновал Рене Декарт.

Уравнением третьей степени называют выражение вида: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. В математике оно называется кососимметрическим. Число y, значение которого необходимо найти, при подстановке превращает формулу в тождество. Называется оно корнем уравнения или просто решением. Кроме этого, y ещё является и корнем многочлена куба.

Таким образом, в кубических уравнениях стоит только одна переменная в третьей степени. Они всегда имеют три корня. При этом ответы могут быть равны друг другу и даже быть комплексными (но не более двух).

Формула квадратного уравнения

Используется при решении простейшего равенства методом разложения кубического уравнения на множители. Когда последний член равен нулю, решить такую задачу можно по методу квадратных уравнений. При n = 0, уравнение примет вид :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

В полученном выражении каждый член представлен произведением на неизвестное, поэтому переменную y можно вынести за скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Уравнение в скобках является классическим квадратным, которое можно решать несколькими способами:

При выборе первого варианта разложение выполняют следующим образом. Например, необходимо решить равенство вида: *y 2 — 11*y — 16 = 0. Квадратный член можно записать в виде двух множителей: 3*y и y. Поэтому их можно записать сразу как произведение в скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Так как определённый член можно записать в виде произведения 2*2 или 1*4, то формулу можно представить как (3 *y +1) * (y — 16).

Если раскрыть скобки, то получится равенство 3*y 2 — 12 *y + y + 16. Решением (-12*y + y) будет (-11*y). Как раз тот член, который нужен. Используя же произведение 2*2 — искомый член найти не получится.

Равенство раскладывают на два множителя: (3*y +1) (х — 16) = 0. Согласно аксиоме произведение двух членов равно нулю только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняв каждое выражение в скобках к нулю, можно записать два равенства: 3*y + 1 = 0 и y — 16 = 0. При решении каждого из них получится два ответа: y = 1/3 и y = 16.

Для проверки результата необходимо оба возможных решения подставить в формулу. Так как для квадратного уравнения существует только два решения, а для кубического три, то в этом случае третьим ответом будет ноль. Поэтому решением уравнения будет три корня: 0, 1/3, 16.

Разложение на множители

Если определённый член не равен нулю, то посчитать игрек при помощи квадратных уравнений невозможно. В этом случае используется метод разложения на свободные множители. Например, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Чтобы разложить кубическое уравнение на множители и определить неизвестное, придерживаются следующего порядка:

Вычисление рационального числа операция долгая и требующая внимания. Поэтому для быстрого нахождения ответа используется деление по схеме Горнера. По этой схеме выполняют деление целых цифр на коэффициенты всех членов равенства. Если в ответе получается только целая часть, то эти числа считаются вариантами решения. Таким методом можно находить и иррациональные выражения.

Использование дискриминанта

Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d 3 — 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d 2 — 4 * a * c. Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два. Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

C = ((Δ 1 2 — 4 Δ 0 3 ) +Δ) / 2) ½ = (((0 — 0) + 0)/2) ½ = 0.

Корни куба определяются по формуле: u n C + Δ0/(u n C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

Теорема Виета и двучлен

Выражение вида: a*y 3 + d = 0 называется двухчленным или неполным уравнением. Для его решения нужно равенство привести к виду: y 3 + d/a = 0. Затем используя формулу сокращённого умножения для суммы кубов можно записать:

(y + 3 √ d/a) * (y 2 − ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

Из первого множителя и находят значение игрека. Оно будет равно 3 √ d/a, ведь второй множитель — это квадратный трёхчлен с корнями комплексного вида.

Для проверки рациональных равенств удобно применять теорему Виета. Согласно ей корни уравнения связаны с коэффициентами выражениями:

Используя теорему, некоторые уравнения можно решить даже устно. Например, y 3 + 2y — 24 = 0. Решение выполняется в следующей последовательности:

Частным случаем применения теоремы являются тригонометрические формулы для кубического равенства:

Теорему Виета можно использовать и для наивысшей, четвёртой степени, при которой ещё существует аналитическое решение.

Подробный онлайн-калькулятор

Вычисление корней требует внимательности и усердия. Чтобы быстро находить решение, нужно не только знание теории, но и практические занятия. Конечно же, знать формулы и уметь решать уравнения нужно самому.

Но при самостоятельном вычислении существует вероятность допущения ошибки. Поэтому на помощь приходят своего рода решебники-онлайн. Они умеют не только точно и быстро определять корни равенства, но и показывать подробное вычисление. Благодаря этому можно не просто получить правильный ответ, но и разобраться в решении, понять различные нюансы, проверить свои знания.

Из наиболее популярных интернет-порталов, позволяющих найти корни кубического уравнения онлайн, можно выделить: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Воспользоваться такими сайтами-решателями сможет любой пользователь, даже не имеющий представление о методах решения уравнений.

Для этого нужно просто заполнить предлагаемые на странице поля и нажать кнопку «Рассчитать» или «Решить». Калькулятор сам на основании запрограммированных формул, чаще всего по методу Вието — Кардано, выполнит расчёт и выведет на экран ответ. Кроме этого, будет предложено подробное решение с описанием. На этих сайтах также можно посмотреть и примеры решений, формулы, теоремы.

Источник

Решение кубических уравнений — методы и примеры вычислений

Всё, что окружает человека, в какой-то мере связано с математикой. Пожалуй, не одно значимое открытие в физике, химии не обходится без составления формул. Особое место при расчётах занимают кубические уравнения. Решение практических задач очень важно, поэтому необходимо уметь проводить вычисления. Существуют различные подходы, позволяющие довольно быстро найти ответ. Поэтому нужно не только знать принцип решения, но и правильно подобрать метод.

История и формулировки

Кубические уравнения составлялись ещё в Древней Греции и Египте. Археологами были найдены клинописные таблицы XVI века до нашей эры, содержащие описание возможного их решения. Вычислением кубов занимался Гиппократ, пытавшийся свести задачу к нахождению отрезков с помощью чертёжных инструментов. Архимед использовал для поиска ответа пересечение двух конусов.

Впервые методы решения такого рода уравнений были описаны в китайском учебнике «Математика в девяти книгах», составленном во втором столетии до нашей эры. В седьмом веке Омар Хайям на основании своих работ приходит к выводу, что решение уравнений третьей степени может иметь более одного ответа.

Математик Шараф ад-Дин публикует тракт об уравнениях, в котором описывает восемь различных типов кубических выражений, имеющих положительное решение. В своих вычислениях он использует численную аппроксимацию. Учёный не только разработал подход для решения с использованием производной функции и экстремумов, но и понял важность дискриминанта многочлена при нахождении кубов.

В 1530 году итальянский математик Никколо Тарталья разрабатывает методику решения, которой он после поделился с Джероламо Кардано. Согласно этому способу нужно было извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Параллельно с этими исследованиями, основоположник символической алгебры Франсуа Виет, предлагает свой способ решения кубического равенства с тремя корнями. Позднее его работу описал и обосновал Рене Декарт.

Уравнением третьей степени называют выражение вида: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. В математике оно называется кососимметрическим. Число y, значение которого необходимо найти, при подстановке превращает формулу в тождество. Называется оно корнем уравнения или просто решением. Кроме этого, y ещё является и корнем многочлена куба.

Таким образом, в кубических уравнениях стоит только одна переменная в третьей степени. Они всегда имеют три корня. При этом ответы могут быть равны друг другу и даже быть комплексными (но не более двух).

Формула квадратного уравнения

Используется при решении простейшего равенства методом разложения кубического уравнения на множители. Когда последний член равен нулю, решить такую задачу можно по методу квадратных уравнений. При n = 0, уравнение примет вид :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

В полученном выражении каждый член представлен произведением на неизвестное, поэтому переменную y можно вынести за скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Уравнение в скобках является классическим квадратным, которое можно решать несколькими способами:

При выборе первого варианта разложение выполняют следующим образом. Например, необходимо решить равенство вида: *y 2 — 11*y — 16 = 0. Квадратный член можно записать в виде двух множителей: 3*y и y. Поэтому их можно записать сразу как произведение в скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0. Так как определённый член можно записать в виде произведения 2*2 или 1*4, то формулу можно представить как (3 *y +1) * (y — 16).

Если раскрыть скобки, то получится равенство 3*y 2 — 12 *y + y + 16. Решением (-12*y + y) будет (-11*y). Как раз тот член, который нужен. Используя же произведение 2*2 — искомый член найти не получится.

Равенство раскладывают на два множителя: (3*y +1) (х — 16) = 0. Согласно аксиоме произведение двух членов равно нулю только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняв каждое выражение в скобках к нулю, можно записать два равенства: 3*y + 1 = 0 и y — 16 = 0. При решении каждого из них получится два ответа: y = 1/3 и y = 16.

Для проверки результата необходимо оба возможных решения подставить в формулу. Так как для квадратного уравнения существует только два решения, а для кубического три, то в этом случае третьим ответом будет ноль. Поэтому решением уравнения будет три корня: 0, 1/3, 16.

Разложение на множители

Если определённый член не равен нулю, то посчитать игрек при помощи квадратных уравнений невозможно. В этом случае используется метод разложения на свободные множители. Например, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Чтобы разложить кубическое уравнение на множители и определить неизвестное, придерживаются следующего порядка:

Вычисление рационального числа операция долгая и требующая внимания. Поэтому для быстрого нахождения ответа используется деление по схеме Горнера. По этой схеме выполняют деление целых цифр на коэффициенты всех членов равенства. Если в ответе получается только целая часть, то эти числа считаются вариантами решения. Таким методом можно находить и иррациональные выражения.

Использование дискриминанта

Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d 3 — 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d 2 — 4 * a * c. Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два. Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

C = ((Δ 1 2 — 4 Δ 0 3 ) +Δ) / 2) ½ = (((0 — 0) + 0)/2) ½ = 0.

Корни куба определяются по формуле: u n C + Δ0/(u n C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

Теорема Виета и двучлен

Выражение вида: a*y 3 + d = 0 называется двухчленным или неполным уравнением. Для его решения нужно равенство привести к виду: y 3 + d/a = 0. Затем используя формулу сокращённого умножения для суммы кубов можно записать:

(y + 3 √ d/a) * (y 2 − ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

Из первого множителя и находят значение игрека. Оно будет равно 3 √ d/a, ведь второй множитель — это квадратный трёхчлен с корнями комплексного вида.

Для проверки рациональных равенств удобно применять теорему Виета. Согласно ей корни уравнения связаны с коэффициентами выражениями:

Используя теорему, некоторые уравнения можно решить даже устно. Например, y 3 + 2y — 24 = 0. Решение выполняется в следующей последовательности:

Частным случаем применения теоремы являются тригонометрические формулы для кубического равенства:

Теорему Виета можно использовать и для наивысшей, четвёртой степени, при которой ещё существует аналитическое решение.

Подробный онлайн-калькулятор

Вычисление корней требует внимательности и усердия. Чтобы быстро находить решение, нужно не только знание теории, но и практические занятия. Конечно же, знать формулы и уметь решать уравнения нужно самому.

Но при самостоятельном вычислении существует вероятность допущения ошибки. Поэтому на помощь приходят своего рода решебники-онлайн. Они умеют не только точно и быстро определять корни равенства, но и показывать подробное вычисление. Благодаря этому можно не просто получить правильный ответ, но и разобраться в решении, понять различные нюансы, проверить свои знания.

Из наиболее популярных интернет-порталов, позволяющих найти корни кубического уравнения онлайн, можно выделить: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Воспользоваться такими сайтами-решателями сможет любой пользователь, даже не имеющий представление о методах решения уравнений.

Для этого нужно просто заполнить предлагаемые на странице поля и нажать кнопку «Рассчитать» или «Решить». Калькулятор сам на основании запрограммированных формул, чаще всего по методу Вието — Кардано, выполнит расчёт и выведет на экран ответ. Кроме этого, будет предложено подробное решение с описанием. На этих сайтах также можно посмотреть и примеры решений, формулы, теоремы.

Источник