Как назвать прямую с тремя точками
Прямая и ее части – что такое в математике, правило
В геометрии любой объект состоит из базовых элементов: точек, прямых и плоскостей. Любая фигура, не важно, плоская она или объемная, будет состоять из этих элементов. Определение точки понятно, но вот как понять, что такое прямая и как она может быть бесконечной – в 5 классе не так просто разобраться.
Определение прямой
Определение прямой начинается с определения линии. Что такое линия? Это множество точек, соединенных между собой. Линия может быть прямой, кривой, ломанной, непрерывной и даже разомкнутой. И именно из-за этого разнообразия линии очень трудно определить в пространстве. Непонятно, как пройдет та или иная кривая, когда выйдет за пределы листа. Поэтому был выделен отдельный вид линий – прямые.
Когда в разговоре вы слышите прямая – люди имеют в виду прямую линию, но последнее слово в словосочетании принято опускать.
Что такое прямая в математике? Прямые это бесконечные непрерывные линии, которые не имеют искривлений. Первое правило линий: через любые две точки можно провести линию. А вот через три точки уже не всегда. Чаще всего через три точки можно провести три прямых.
Если прямая проходит через три точки, то про эти точки говорят, что они лежат на одной прямой. Прямые, как правило, обозначают малой латинской буквой или по названию двух точек на прямой.
Почему двух, а не трех? Очень просто: через две точки может пройти только одна прямая. Тогда как через одну: бесконечное множество. А три точки не имеет смысла использовать: ни к чему усложнять обозначение.
Взаимное расположение прямых
Две прямые в пространстве могут располагаться по-разному. Самый простой и частый случай это пересечение. Если две прямые имеют одну общую точку, про такие прямые говорят, что они пересекаются.
Рис. 2. Взаимное расположение прямых.
А как прямые назвать, если они не пересекаются? Тогда – параллельные, то есть прямые, которые не имеют общих точек.
А что будет, если у двух прямых две и больше общих точек? Тогда прямые совпадут.
При пересечении двух прямых образуется две пар вертикальных углов. Вертикальные углы в каждой паре равны между собой.
Если угол пересечения равен 90 градусов, то прямые перпендикулярны друг другу.
Рис. 3. Пересечение прямых.
Точка на прямой
Точка на прямой это почти магия. Сама по себе прямая это множество точек, но стоит отметить одну из них и геометрическую фигуру можно назвать как прямой, так и двумя лучами с началом в одной точке. Если поставить две точки на прямой, то они будут отделять часть прямой, которую называют отрезком.
Любой отрезок является частью прямой.
Что мы узнали?
Мы дали определении линиям, выделили виды линий, а так же рассмотрели, какая из линий может называться прямой. Поговорили о том, как обозначаются прямые и как они могут располагаться в пространстве относительно друг друга. Выяснили, что точка на прямой может сделать из прямой отрезок или луч.
Прямая
Всего получено оценок: 147.
Всего получено оценок: 147.
В геометрии любой объект состоит из базовых элементов: точек, прямых и плоскостей. Любая фигура, не важно, плоская она или объемная, будет состоять из этих элементов. Определение точки понятно, но вот как понять, что такое прямая и как она может быть бесконечной – в 5 классе не так просто разобраться.
Определение прямой
Определение прямой начинается с определения линии. Что такое линия? Это множество точек, соединенных между собой. Линия может быть прямой, кривой, ломанной, непрерывной и даже разомкнутой. И именно из-за этого разнообразия линии очень трудно определить в пространстве. Непонятно, как пройдет та или иная кривая, когда выйдет за пределы листа. Поэтому был выделен отдельный вид линий – прямые.
Когда в разговоре вы слышите прямая – люди имеют в виду прямую линию, но последнее слово в словосочетании принято опускать.
Что такое прямая в математике? Прямые это бесконечные непрерывные линии, которые не имеют искривлений. Первое правило линий: через любые две точки можно провести линию. А вот через три точки уже не всегда. Чаще всего через три точки можно провести три прямых.
Если прямая проходит через три точки, то про эти точки говорят, что они лежат на одной прямой. Прямые, как правило, обозначают малой латинской буквой или по названию двух точек на прямой.
Почему двух, а не трех? Очень просто: через две точки может пройти только одна прямая. Тогда как через одну: бесконечное множество. А три точки не имеет смысла использовать: ни к чему усложнять обозначение.
Взаимное расположение прямых
Две прямые в пространстве могут располагаться по-разному. Самый простой и частый случай это пересечение. Если две прямые имеют одну общую точку, про такие прямые говорят, что они пересекаются.
А как прямые назвать, если они не пересекаются? Тогда – параллельные, то есть прямые, которые не имеют общих точек.
А что будет, если у двух прямых две и больше общих точек? Тогда прямые совпадут.
При пересечении двух прямых образуется две пар вертикальных углов. Вертикальные углы в каждой паре равны между собой.
Если угол пересечения равен 90 градусов, то прямые перпендикулярны друг другу.
Рис. 3. Пересечение прямых.
Точка на прямой
Точка на прямой это почти магия. Сама по себе прямая это множество точек, но стоит отметить одну из них и геометрическую фигуру можно назвать как прямой, так и двумя лучами с началом в одной точке. Если поставить две точки на прямой, то они будут отделять часть прямой, которую называют отрезком.
Любой отрезок является частью прямой.
Что мы узнали?
Мы дали определении линиям, выделили виды линий, а так же рассмотрели, какая из линий может называться прямой. Поговорили о том, как обозначаются прямые и как они могут располагаться в пространстве относительно друг друга. Выяснили, что точка на прямой может сделать из прямой отрезок или луч.
Прямая линия. Понятие прямой, ее свойства.
Наглядно прямую линию может продемонстрировать туго натянутый шнур, кромка стола, край листа бумаги, место, соединения двух стен комнаты, луч света. При начертании прямых линий на практике применяют линейку.
Прямой линии присущи такие характерные особенности:
1.У прямой линии нет ни начала ни конца, то есть она бесконечна. Существует возможность начертить только ее часть.
2.Через две произвольные точки можно провести прямую линию, и притом только одну.
3. Через произвольную точку можно провести не ограниченное количество прямых на плоскости.
4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны.
Для обозначения прямой линии используют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, написанные в двух различных местах этой прямой.
Если на прямой линии указать точку, то в результате получим два луча:
Лучом называют часть прямой линии, ограниченную с одной стороны. Для обозначения луча применяют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, из которых одна обозначается в начале луча.
Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, именуют ее отрезком. Отрезок, как и прямая линия, обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.
Линию, сформированную несколькими отрезками, не лежащими на одной прямой, принято называть ломаной. Когда концы ломаной совпадают, то такая ломаная именуется замкнутой.
Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.
Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.
Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Решение задачи
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
Как обозначается пересечение прямых
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.
Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Третий случай расположения прямых
Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или три.
Что такое отрезок
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Прямая линия
Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.
Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:
Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.
Обозначение прямой
Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая a, или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая AB:
Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.
Свойства прямой
1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.
Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.
2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.
3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.
Точки N и M лежат на прямой a. Точка L не лежит на прямой a.
5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.
На рисунке изображена прямая с тремя точками A, B и C, лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:
точка B лежит между точками A и C, точка B разделяет точки A и C
Также можно сказать:
точки B и C лежат по одну сторону от точки A, они не разделяются точкой A
6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.