Как назвать угол в треугольнике

Как называются углы треугольника

Как называются углы треугольника? Ответ может зависеть от того, сколько углов имеется при вершине треугольника.

Если при вершине треугольника есть только один угол, то его можно назвать одной буквой, по названию вершины.

Например, в треугольнике MKF (рисунок 1) при каждой вершине есть только один угол. Следовательно, каждый из углов можно назвать одной буквой, по названию вершины, из которой исходят образующие этот угол лучи:

Угол M, угол K и угол F.

Для обозначения угла существует специальный знак: ∠

Запись ∠ M читают как «угол M».

Каждый из углов треугольника MKF можно назвать также тремя буквами. При этом вершина в названии угла должна стоять посередине.

Угол M также можно назвать углом KMF или углом FMK,

В треугольниках, изображенных на рисунке 2, одной буквой могут быть названы только углы при вершинах A и D: ∠A и ∠D.

При вершине B есть три угла, поэтому каждый из этих углов нужно назвать тремя буквами: ∠ABC, ∠CBD и ∠ABD.

Аналогично, углы при вершине C могут быть названы только тремя буквами: ∠ACB, ∠BCD и ∠ACD. Назвать какой-либо из этих углов ∠C нельзя.

Каждый из углов треугольников, изображенных на рисунке 3, может быть назван только тремя буквами.

Источник

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Отрезок BN — это высота ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Отрезок BN — это биссектриса ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок BN — это медиана ABC.

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Как выглядит треугольник?

В выходной день Глеб с родителями ехали в парк. Мальчик заметил, что вдоль дороги стояла непонятная табличка, увидев которую, отец поехал очень медленно.

«Что это такое?» – поинтересовался ребенок. Папа рассказал, что это дорожный знак, который предупреждает о трудностях на пути. Глебу очень понравился знак, а особенно его форма. Отец продолжил рассказ о знаках: «Форма знака о многом говорит водителю, ведь при плохой видимости автолюбитель видит только форму, а не надпись. Поэтому все предупреждающие знаки – треугольные». «А что такое треугольные?» – не унимался мальчик. Найти ответ на этот и многие другие вопросы папе помог наш сегодняшний урок.

Вначале, давайте разберемся, что же такое треугольник и из чего он состоит.

В повседневной жизни нас окружает масса предметов имеющих треугольную форму. Например:

Часы, воздушный змей, кусочек торта, пиццы, арбуза, салатники, рамки для фотографий, пузырек парфюма – этот список можно продолжать бесконечно. Но что же такое треугольник?

Приведем примеры треугольников:

Исходя из определения, каждый рисунок состоит из трех отрезков. В геометрии такие отрезки называют сторонами треугольника.

Кроме отрезков, составляющей частью фигуры являются три точки, которые принято называть вершинами.

В геометрии, вершины треугольника принято обозначать заглавными буквами латиницы: A,C,D,B.

Начертим треугольник. Вершины, обозначим буквами A,C,D.

Данная геометрическая фигура имеет три вершины A,C,D и три стороны АС, CD, DА.

А как же на письме показать, что данная фигура является треугольником?

Очень интересным является то, что записывать название, можно перечисляя вершины в любом порядке.

Можно записать: ∆NOK, ∆OKN, ∆KNО. Каждый вариант записи обозначает один и тот же треугольник и является верным.

Само название фигуры «Треугольник» предполагает, что в состав должны входить три угла. Так ли это?

Внимательно рассмотрим рисунок:

Действительно, мы видим три угла, которые отмечены дугами: ∠RFP,∠FPR, ∠PRF(мы уже знаем, что буква, обозначающая вершину угла всегда записывается в середине) или∠F, ∠P,∠R.

Виды треугольников

Все геометрические фигуры, имеющие треугольную форму,делятся на группы по двум направлениям:

Давайте рассмотрим, на какие группы делятся треугольники по углам:

Теперь, познакомимся с группами треугольников по сторонам(на рисунках равные стороны принято обозначать одинаковым количеством черточек):

Постарайтесь запомнить все виды треугольников, так как на протяжении всего учебного процесса, вам часто придется сталкиваться с выполнением заданий на данную тему.

Равенство треугольников

Случаются ситуации, когда точно известно, что два треугольника равны, а что же в таком случае можно сказать про углы и стороны таких треугольников?

Нам дано: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Равны ли соответствующие стороны и углы данных фигур?

По условию треугольники равны. Значит, применяем рассмотренное правило, которое говорит о том, что все соответствующие элементы фигуры равны между собой.

Если ∆ABC = ∆A₁B₁C_1, то равны соответствующие стороны:

и соответствующие углы равны:

Геометрия интересна тем, что большинство её правил нуждаются в доказательствах. Такие правила называют теоремами.

Вместе с этим, имеются и самостоятельные правила, которые называют аксиомами геометрии.

Сегодня мы рассмотрим первую теорему с названием «Первый признак равенства треугольников», и проведем работу по сбору доказательств для данной теоремы.

Два треугольника – ∆OMN и ∆KLT. Известно, что две стороны треугольников и угол между ними равны.

Докажем, что ∆OMN=∆KLT.

Доказательство первого признака равенства треугольников:

Из условия нам известно, что соответствующие углы равны ∠M =∠L, следовательно, мы можем выполнить наложение двух треугольников так, чтобы вершина M совпадала с вершиной L.

Выходит, что при совмещении совпадают все элементы ∆, а такие ∆ называются равными.

Мы доказали, что ∆OMN=∆KLT.

Еще, нам предстоит познакомиться с несколькими понятиями, без которых продолжать изучение геометрии невозможно.

Доказательство будем проводить в два этапа.

Медиана, биссектриса, высота

Рассмотрим ∆АВС. Отметим на отрезке АС середину и обозначим её точкой О. Соединим точки В и О отрезком. Полученный отрезок ВО называют медианой.

Любой треугольная фигура имеет три вершины, из каждой можно провести медиану, следовательно, в одной можно провести три медианы.

Биссектриса

Чтобы рассмотреть понятие биссектрисы треугольника, вспомним определение биссектрисы угла:

На рисунке изображен ∆ОВМ. Из угла О проведем биссектрису (луч, делящий угол пополам)и продолжим её до пересечения со стороной ВМ. Место пересечения отметим точкой С. Отрезок ОС делит угол О пополам(∠ВОС =∠СОМ) и пересекается с противолежащей стороной ВМ.

На рисунке изображена фигура РТК. Из вершины Т проведем перпендикуляр к стороне РК, место пересечения перпендикуляра и стороны фигуры отметим точкой А.∠ТАК =∠ТАР=90˚. Перпендикуляр ТА называют высотой ∆РТК.

Изученные сегодня определения и теоремы являются базовыми в изучении геометрии. Поэтому постарайтесь уделить особое внимание материалу сегодняшнего урока.

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника

Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

У него три вершины — , , и три стороны , и . У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут ([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

будут звать ([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Высота треугольника

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

Например, в треугольнике , высотой будет отрезок .

А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

В этом треугольнике три высоты , , .

Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

Виды треугольника

Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

Виды треугольников по углам

В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный , треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

Виды треугольников по сторонам

Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

Свойства сторон треугольника

Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть:

Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон , а см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

Правило существования треугольника

Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10 7 — треугольник с такими длинами сторон существует.

Свойство углов в треугольнике

Сумма всех углов в треугольнике равна .

Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна .

Например, пусть известно, что в треугольнике , , , нужно найти .

Так как сумма углов в треугольнике равна , то находим:

.

Ответ: .

Элементы композиции

Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

Источник