Sin2x cos2x что значит на кольцах
Тригонометрия простыми словами
Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.
В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Sin2x cos2x что значит на кольцах
Формулы двойного аргумента (двойного угла)
Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).
Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.
Представим это выражение в виде sin (x + x).
Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:
sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.
Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:
cos 2x = 1 – 2 sin 2 x
В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.
Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:
cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos 2 x – sin 2 x.
3) cos 2x = 1 – 2 sin 2 x.
Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos 2 x + sin 2 x = 1.
Из этого тождества следует, что cos 2 x = 1 – sin 2 x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos 2 x, сведем подобные члены и получим результат:
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – sin 2 x – sin 2 x = 1 – 2sin 2 x.
Способов, как прийти к такому тождеству, два.
tg х + tg х 2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
1 – tg х tg х 1 – tg 2 х
Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:
При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.
Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.
sin 2α 2 sin α cos α
——— = —————— = 2 cos α
sin α sin α
В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.
1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg 2 α = ———.
sin 2 α
Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:
1 1 4
ctg α = —— = —— = ——
tg α 3/4 3
2) Теперь находим значение синуса:
1 1 1 1 9
sin 2 α = ————— = ————— = ———— = —— = ——
1 + ctg 2 α 1 + (4/3) 2 1 + 16/9 25/9 25
3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos 2 α + sin 2 α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:
9 16
cos 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – —— = ——
25 25
4) Осталось применить формулу двойного угла:
3 4 2 · 3 · 4 24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = —— = 0,96.
5 5 5 · 5 25
Пример 3 : Вычислить
π π
cos 2 — – sin 2 —
8 8
Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos 2 x – sin 2 x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что
Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:
Связь между тригонометрическими функциями одного угла. Основные тригонометрические формулы.
Итак, в прошлый раз мы с вами успешно познакомились с тригонометрическими функциями — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. И чётко уяснили себе следующее:
1. Синус, косинус, тангенс и котангенс — это просто какие-то безразмерные числа. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Для каждого конкретного угла — свои.
2. Тригонометрические функции крепко-накрепко связаны с углом. Знаем угол — знаем и все его тригонометрические функции. И наоборот.
Если не уяснили эти простые вещи, то добро пожаловать по ссылочке, пока не поздно. А мы продолжаем.
То, что между этой великолепной четвёркой существует тесная связь, не вызывает никаких сомнений. Всякая связь в математике задаётся, чаще всего, формулами. В тригонометрии формул — огромное количество. Это и формулы приведения, и формулы сложения, двойного угла, понижения степени и многие-многие другие.
Здесь «альфа» — какой-то угол.
Эти шесть формул — краеугольный камень всей тригонометрии. То, чего не знать нельзя. Если вы не знаете, чему равен, скажем, косинус тройного угла — не проблема. Никто вас не осудит. Но если вы не знаете, что sin 2 x+cos 2 x = 1, то будьте готовы получить заслуженную двойку. Вот так вот.
Из этих формул сразу видно, что они неразрывно связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла. Именно эти формулы нам позволяют находить все тригонометрические функции одного и того же угла, если известна хотя бы одна из них. Причём (важно!) не находя сам угол! Такие задания очень популярны как сами по себе, так и могут быть промежуточным этапом в более серьёзных заданиях. В тригонометрических уравнениях, к примеру. И особенно в высшей математике, в тех же пределах, интегралах, дифференциальных уравнениях и прочих крутых темах.
Кстати говоря, хочу обратить ваше внимание на один частый ляп в неправильном написании тригонометрических функций в степенях — в квадрате, в кубе и так далее.
Например, выражение квадрат синуса (или синус в квадрате) в тригонометрии пишется вот так:
Двойка (т.е. степень) в этом случае пишется между углом и названием функции. Эта запись как раз и говорит нам о том, что в квадрат возводится именно сама функция (т.е. в нашем случае — синус).
будет говорить уже о том, что в квадрат возводится, не синус угла, а только сам угол! Почувствуйте разницу, что называется.)
Во избежание путаницы, ещё раз (и навсегда!) всё то же самое, но со скобочками:
sin 2 x = (sin x) 2
sin x 2 = sin(x 2 )
Конечно, заниматься возведением углов в квадрат мы в школьной тригонометрии вряд ли будем. За ненадобностью.) Зато возведением функций в квадрат — постоянно. Так что привыкаем, не путаемся и пишем правильно.
Ну что, посмотрим на вывод основных формул? Чтобы всё встало на свои места. Зачем и почему? Да потому, что любая формула запоминается гораздо проще, если есть возможность её «пощупать» в реале, а не механически зазубривать и бездумно принимать на веру, как само собой разумеющееся.) Тем более что это не просто, а очень просто!
Вывод и смысл основных тригонометрических формул.
Первым делом, я снова нарисую наш старый добрый прямоугольный треугольник. Не обязательно по линеечке, по клеточкам, а просто схематично. От руки.
Что нам понадобится ещё для дальнейшей работы?
1. Теорема Пифагора:
a 2 + b 2 = c 2
sin α = a/c
cos α = b/c
tg α = a/b
ctg α = b/a
Всё. Вот и все инструменты.
А вот теперь начинается самое весёлое. Сейчас я беру нашу горячо любимую теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2 и… начинаю всячески над ней издеваться, подвергая её всевозможным пыткам.) Результатами пыток станут целых три формулы из нашего списка!
Так у нас с вами рождается на свет формула №1:
Эта формула — самая популярная во всей тригонометрии! По-другому её ещё называют основным тригонометрическим тождеством.
Она же, но записанная слегка по-другому (в зависимости от того, что именно надо выразить):
Эти две модификации формулы №1 весьма и весьма часто применяются в примерах по тригонометрии! Именно они позволяют легко перевращать синусы в косинусы (и наоборот). Имеет смысл запомнить.
Давайте поделим и посмотрим:
И снова соображаем из тригонометрии (и нашего рисунка), что же такое a/b. Верно, тангенс альфа! А c/b? Так сразу и не скажешь… Стоп! Но ведь что такое b/c — это же нам ясно! Это косинус альфа! У нас же в формуле стоит тот же косинус, только перевёрнутый вверх ногами — c/b. Значит, справа в скобках у нас стоит величина, обратная косинусу: 1/cos α.
Итого имеем следующее:
Переписываем в привычном виде и рождаем формулу №5:
Попробуйте получить самостоятельно, очень полезно.)
Вторая, третья и четвёртая формулы выводятся совсем элементарно, исходя только из определения тригонометрических функций и элементарных действий с дробями. Теорема Пифагора здесь не нужна.
Что, например, у нас получится, если мы просто поделим синус на косинус?
И все дела.) С котангенсом — аналогично.
А если перемножить тангенс и котангенс? Ну-ка, ну-ка…
Вот и вся премудрость. Убедились, насколько всё просто?)
Решение простейших заданий по тригонометрии.
Теория теорией, но нам ведь опыт наращивать надо, верно? Так что пора приступать к задачкам. Всё как всегда — от совсем простых и безобидных до вполне себе серьёзных.
Здесь, ясное дело, надо искать формулу, связывающую тангенс и котангенс. Это четвёртая формула. Самое главное — сообразить, что вместо «альфа» можно писать любую другую букву. Лишь бы везде одна и та же была. Для нашего задания будет:
Можно прямо в эту формулу подставить значение ctg x = 1,25:
Осталось лишь решить это простенькое уравнение. Да-да. Ещё раз подчёркиваю, что любая формула, любое соотношение, соединённое знаком равенства («=»), — это всегда уравнение! А там, где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений, да…
Наше соотношение — это тоже уравнение. Где роль неизвестного играет tg x. Прошу заметить, не икс, а именно весь тангенс целиком! Вас же не смущает уравнение, скажем, y·1,25 = 1? Что вы обычно делаете в таких случаях? Правильно, делите обе части на 1,25, чтобы слева остался чистый игрек. Вот и здесь тоже делим обе части на 1,25, добиваясь слева чистого тангенса.
И все дела. Это и есть верный ответ.
Можно поступить иначе. Сначала выразить из общей формулы тангенс:
А уже теперь подставить вместо ctg x его значение 1,25. Получим то же самое. И так и эдак можно. Разницы — никакой. Но… если осознать смысл этой формулы поглубже, то можно получить очень простой и очень полезный практический приём.
Запоминаем:
Если единицу разделить на котангенс, то получим тангенс. И наоборот, единица, делённая на тангенс, даёт котангенс. Эти две функции взаимно обратны!
Что? Не знаете, как разделить единичку на число? Ну, это вопрос не к тригонометрии. Вопрос к шестому классу, к дробям… Как разделить? Да просто перевернуть это самое число и все дела!
И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли…)
Например, классика жанра:
2. Известно, что β — острый угол в прямоугольном треугольнике.
Ищем формулу, связывающую синус и косинус. Это самая первая формула:
Подставляем в неё известную нам величину 0,6 вместо косинуса:
И считаем, как обычно:
Вот, практически, и всё. У нас есть квадрат синуса. А нужен сам синус. Для этого осталось всего лишь извлечь корень и — ответ готов! Корень из 0,64 будет 0,8.
Два разных ответа получается. А нужен один. Второй — неправильный. Что делать? Да всё как обычно! Внимательно прочитать задание! Там зачем-то сказано: «… если β — острый угол…» А лишних слов в заданиях, как правило, не бывает, да… Именно эти слова — и есть дополнительная информация к решению.
Что такое острый угол? Это угол меньше 90 градусов. А у таких углов все тригонометрические функции (в том числе и синус, да…) всегда положительные. То есть, отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем полное право.
Собственно, на данном этапе нам такие тонкости особо не нужны. Пока… Ибо сейчас мы работаем только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знаем, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000 градусов… И у всех этих жутких углов тоже есть свои тригонометрические функции! С плюсом и с минусом. Всё от конкретного угла зависит.
А вот старшеклассникам без учёта знака — никак. К сожалению… Но не будем бежать впереди паровоза. Всему своё время.)
Решаем следующую задачку. Покруче.
Определить косинус острого угла β в прямоугольном треугольнике, если ctgβ = 4/3.
На первый взгляд, всё просто. Но попробуем найти в нашем списке формулу, связывающую котангенс и косинус. Ищем и… Вы правы! Такой формулы нету.) Надо как-то выкручиваться…
Можно работать с шестой формулой:
Подставим в эту формулу значение котангенса и преобразуем:
Выразим из этой пропорции (т.е. тоже уравнения!) квадрат синуса:
Итак, квадрат синуса у нас есть. Теперь его легко можно превратить в квадрат косинуса по первой формуле:
cos 2 β = 1 — sin 2 β
Извлекаем корень и определяем сам косинус:
Читаем ещё раз задание и вспоминаем, что у острого угла все тригонометрические функции всегда положительны. Отбрасываем отрицательное значение и получаем окончательный ответ:
Это был один способ. Можно решать и по-другому, через пятую формулу:
Для этого нам надо:
1) Превратить котангенс в тангенс по формуле №4;
2) Подставить значение тангенса в формулу;
3) Преобразовать выражение и выразить из него квадрат косинуса;
4) Извлечь корень и получить два значения косинуса;
5) Сообразить (из условия задания), что в прямоугольном треугольнике все тригонометрические функции всегда положительны. Отбросить отрицательный ответ и получить косинус.
Как видим, хрен редьки не слаще, да.) Но это ещё не всё. Для такого решения надо ещё вспомнить эти формулы! А если забыли? Собственно, в этом-то и кроется главная проблема в их применении. Да ещё и куча вычислений… В общем, не подарок…
Без паники! Для таких задачек есть очень простой и, главное, наглядный способ решения! Геометрический.) Читаем, вникаем и запоминаем.
Нарисуем этот котангенс!
Да-да! Схематично. Как? Очень просто! Берём черновик и рисуем любой прямоугольный треугольник. Кривовато, от руки, даже не соблюдая пропорций. У нас не ИЗО и не черчение с вами.) Выбираем любой острый угол и обозначаем его «бета».
Вспоминаем теперь, что котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему. И ставим на соответствующих катетах их длины. Какие? А какие в нашем котангенсе записаны! 4 и 3. Противолежащий катет a = 3, а прилежащий b = 4.
Чего ещё нам не хватает для полного счастья? Гипотенузы нам не хватает! Не беда: Пифагор ещё никого не подводил.)
Итак, гипотенуза равна пяти. Подписываем на картинке.)
А теперь считаем косинус прямо по заклинанию: отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Всё! Быстро, правда?) Вот такой красивый графический способ-лайт. Безо всяких формул.) Ну… почти. Ведь теорему Пифагора всяко надо знать, да.)
Что, внушает? В таких замороченных примерах необходимо понимать, что синусы и косинусы никоим образом не отменяют всей остальной математики. И подчиняются тем же самым общим правилам, что и обычные числа и буквы в алгебре! А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п.
Вас же никак не смущает дробь
правда ведь? Хотя кого-то она, возможно, тоже смущает, да…
Естественно, к основным правилам алгебры добавляется ещё и специфика самой тригонометрии, от этого никуда не денешься. Собственно, с этой целью и разбираем соответствующий пример, да.)
Начнём с числителя нашей здоровенной дроби. Забудем на минутку про тригонометрию и прикинем, что там можно сделать, основываясь на обычных правилах алгебры. Да хотя бы вынести один синус за скобки! Верно, давайте вынесем:
sin 3 x·cos x + sin x·cos 3 x = sin x (sin 2 x·cos x+cos 3 x)
Ой, ещё и косинус вынести можно!
sin x (sin 2 x·cos x+cos 3 x) = sin x·cos x (sin 2 x+cos 2 x)
Вот так. Самые грамотные вообще сразу целиком вынесут произведение sin x·cos x за скобку. Знания и наблюдательность иногда очень помогают. Если они есть.)
А вот теперь и тригонометрия в дело вступает! Что у нас в скобочках? Да! В скобочках у нас — чистая формула №1. Или основное тригонометрическое тождество:
От умножения на единичку выражение не меняется. Значит, числитель нашей дроби будет не что иное, как просто sin x·cos x.
Всё. Числитель упростили до упора. Работаем со знаменателем:
А здесь что? Разность ква… Точно! Разность квадратов! Такая родная и знакомая формула:
Под буквой «a» здесь скрывается единичка, а под буквой «b» — выражение sin x. Ну и что? Важно понимать, что под буквами в алгебраических выражениях может скрываться всё что угодно! И числа, и синусы, и логарифмы, и степени — любые сложные выражения! Алгебре все выражения по плечу. Иначе она не была бы алгеброй, да…)
Вот и срабатываем прямо по формуле разности квадратов:
(1–sin x)(1+sin x) = 1 2 — (sin x) 2 = 1 — sin 2 x
А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что
Вставляем упрощённые числитель и знаменатель в нашу дробь, сокращаем что сокращается и получаем:
Казалось бы, всё. В рамках алгебры 7-го класса такая дробь дальнейшему упрощению уже не поддаётся, но алгебра в этом примере и так постаралась на славу. Зато в рамках тригонометрии эта дробь вполне себе упрощается! Что же такое синус поделить на косинус? Тангенс, конечно же! Чистая формула №2.
Вот теперь всё. Значит, окончательный результат упрощения вот такой:
Эффект потрясающий, правда?
Запоминаем:
В тригонометрии очень популярны задания, где надо использовать алгебру 7-го класса. А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п. Проверяем замороченные примеры на алгебру 7-го класса!
Ещё из той же оперы:
Напоминаю, что страшная фраза «доказать тождество» всего лишь означает, что надо упростить обе части предлагаемого равенства (или какую-то одну, более сложную) и убедиться, что слева и справа стоит одно и то же выражение.
Вот и пробуем добраться до одинакового выражения! Начинаем с левой части. Превращаем тангенс в отношение синуса к косинусу по второй формуле:
Выражение в скобках превращаем в квадрат косинуса по первой формуле:
Подставляем, сокращаем косинусы и получаем:
Ну вот. Левая часть упрощена по максимуму. С правой частью аналогично — формулы №1 и №3 нам в помощь:
Вот и всё! Слева и справа мы получили совершенно одинаковые выражения! А именно — sinα·cosα. Что и требовалось доказать.)
Итак, самое главное.
Чётко уясняем: тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) одного угла неразрывно связаны между собой основными тригонометрическими формулами. Если нам известна хотя бы одна из функций — значит, можно (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные!
А теперь порешаем, как обычно.
1. Косинус острого угла равен 7/25. Найдите синус этого угла.
2. Известно, что β — угол в прямоугольном треугольнике. Найти tgβ, если sinβ = 15/17.
3. Найдите косинус острого угла A, если известно, что ctg A = 2,4.
5. Упростите выражение и найдите его значение, если sinβ = 1:
6. Известно, что tg y = 3. Найдите значение выражения:
Что, страшно? Мы такого не решали? Да, не решали. Но и самим поразмышлять тоже иногда полезно, да.) Подсказка: основное свойство дроби вам в помощь! Ну и формула №2 для тангенса, само собой.)