сумма каких двух чисел равна 19 запиши все случаи

Проверочная работа 2 (с. 44 – 45)

Ноя 16

Проверочная работа 2 (с. 44 – 45)

Сложение и вычитание (продолжение)

Проверочная работа 2

Вариант 1

1. Запиши, сумма каких двух однозначных чисел равна:
1) 11; 2) 14.

1) 2 + 9 = 11 2) 5 + 9 = 14
3 + 8 = 11 6 + 8 = 14
4 + 7 = 11 7 + 7 = 14
5 + 6 = 11

2. Выполни вычисления.

4 ∗ . Используя в каждом столбике данное равенство, запиши значения двух других выражений.

57 + 24 = 81 49 + 16 = 65
57 + 26 = 83 48 + 15 = 63
57 + 28 = 85 47 + 14 = 61

Вариант 2

1. Запиши, сумма каких двух однозначных чисел равна:
1) 12; 2) 13.

1) 3 + 9 = 12 2)4 + 9 = 13
4 + 8 = 12 5 + 8 = 13
5 + 7 = 12 6 + 7 = 13
6 + 6 = 12

2. Выполни вычисления.

4 ∗ . Используя в каждом столбике данное равенство, запиши значения двух других выражений.

39 + 16 = 55 47 + 25 = 72
37 + 16 = 53 48 + 26 = 74
35 + 16 = 51 49 + 27 = 76

Источник

Сумма каких двух чисел равна 19 запиши все случаи

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1, и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.

Четырёхзначное число, обладающее требуемыми свойствами, единственно. Покажем это, приведя другое решение.

Приведём решение Дмитрия Мухина (Москва).

Пусть a, b, c, d — цифры числа и пусть а самая большая из них (порядок цифр не важен). Покажем, что произведение меньших цифр не больше четырёх. Действительно, из равенства a + b + c + d = 1 + abcd, получаем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наибольшую цифру a, получаем, что bcd Ответ: 3211

Источник

Сумма каких двух чисел равна 19 запиши все случаи

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 4106137125.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 27593118?

в) Какое наибольшее число, кратное 9, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

а) Например, из числа 4675 получается 4106137125.

б) Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 27593118 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 5 + 3 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.

в) Пусть изначальное трехзначное число равно где a, b и c — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если и а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.

Если то полученное число будет равно

Сумма цифр полученного числа равна

При получившееся число будет больше, чем при любых других a и b, вне зависимости от c. В этом случае делится на 9 только при Таким образом, максимальное число получается из числа 887 и равно 8168157.

Источник

Сумма каких двух чисел равна 19 запиши все случаи

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

а) Например, из числа 2847 получается 2108124117.

б) Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 37494128 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 4 + 4 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.

в) Пусть изначальное трехзначное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если и а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.

Если то полученное число будет равно

Знакочередующая сумма цифр полученного числа равна

При a = 9 получившееся число будет больше, чем при любом другом a, вне зависимости от b и c. В этом случае 2a – b делится на 11 только при b = 7 и любом c. При a = 9 и b = 7 максимальное число получится для c = 9.

Таким образом, максимальное число получается из числа 979 и равно 9167169.

Источник

Сумма каких двух чисел равна 19 запиши все случаи

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. (Или числа 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4.)

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.

б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.

в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.

Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a 5000. Противоречие.

Приведём другое доказательство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a 5000.

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна и их штук.

После описанных действий будет чисел с общей суммой Значит,

Отсюда следует, что Но тогда что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения Очевидно, следует взять и максимизировать то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит откуда Тогда требуемое выражение будет равно Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая

Ответ: а) да б) нет в)

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Источник