теорема пифагора какой предмет изучает

Теорема Пифагора

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Пошаговое доказательство:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок)

Разделы: Математика

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение пройденного материала

(Подготовка к восприятию нового материала).

По готовым рисункам заданы классу вопросы:

Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный).

1. Назовите катеты и гипотенузу (ВС и АС – катеты, АВ – гипотенуза).

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Какой треугольник на рисунке 2? (Равнобедренный, прямоугольный, углы при основании 45 0 )

3. По данным рисунка 3 докажите, что KMNP – квадрат. Как выразить его площадь?

Рисунок 3 Рисунок 4

По рисунку 4 сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.

III. Объяснение нового материала.

“Соедини предлог с игрою,
И чудо вдруг произойдет.
Цветок Египта знаменитый
Перед тобою расцветет”. (Лотос)

А теперь послушайте задачу, предложенную древними индусами:

1) “Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет более цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где он рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?”

Показываю рисунок 5 и объясняю, что означает 1 фут. 1 фут = 0,3048 м. Единица длины системы мер, принятой в англоязычных странах.

Как найти отрезок CD? Кто как думает? Достаточно ли у вас знаний для решения этой задачи?

Предлагается еще одна задача индийского математика XII в. Бхаскары:

Показываю рисунок к задаче. Перед учениками ставится проблема: Что надо знать, чтобы решить эту задачу.

Ребята! Знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?

Ученики могут сформулировать теорему или рассказать о головоломке-игре “Пифагор”.

В каком из европейских городов есть улица Пифагора?

Сегодня вы познакомитесь с одной из основных теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. О математике, именем которого названа теорема, рассказывает ученик. Показываю его портрет.

В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.). С его именем связано много легенд. Он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. На юге Италии возникла Пифагорейская школа. Ими было сделано много в арифметике и геометрии. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

В чем суть теории Пифагора? Ваши предложения.

После этого объявляется тема урока и цель.

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Изобразите прямоугольный треугольник (рисунок 6) и запишите эту формулировку в обозначениях.

Во времена Пифагора эта теорема звучала так: “Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов, построенных на катетах”. Или “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

2-й ученик рассказывает историческую справку об этой теореме.

Теорема была известна задолго до Пифагора египтянам, вавилонянам, китайцам, индийцам. За несколько веков до н.э. эта теорема была хорошо известна и использовалась для построения алтарей.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время известно более ста способов доказательства теоремы Пифагора.

Показываю рисунок 7.

Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны на все стороны равны. Такие стишки придумывали учащиеся, рисовали шаржи к теореме Пифагора. Показываю красочные рисунки.

Теперь докажем теорему и запишем ее доказательства в обозначениях (рисунок 8). Используя наводящие вопросы, ведет запись на доске сильный ученик, а остальные ученики у себя в тетрадях.

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 (с 2 = а 2 + в 2 ).

1) Достроим АВС до квадрата EFLD со стороной а + в (рисунок 9).

2) Из каких фигур состоит квадрат EFLD?

S_EFLD = S_PKMN + 4SD _ABC = c 2 + 4ав = с 2 + 2ав

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав

А для чего нужна теорема Пифагора?

Задача 1. Вычислить, чему равна гипотенуза треугольника, изображенного на рисунке 10. (ответ: 5)

Обратите внимание на эти три числа: 3, 4, 5 (треугольник с такими сторонами называется египетским). О нем вы прочитает дома на стр. 127.

Найдите d по рисунку 11.

d 2 = 6 2 + 8 2 (треугольник прямоугольный)

Итак, ребята, сделаем вывод, когда можно использовать теорему Пифагора?

Ответ: только для прямоугольного треугольника.

А теперь вернемся к задаче о лотосе.

x 2 + x + — x 2 = 4

x = 3.

Ответ: 3 фута.

Задача 2. Вычислите длину неизвестного отрезка по рисунку 12.

AC 2 = 0,5 2 + 1 2 = 0,25 + 1 = 1,25

х 2 = AC 2 + CD 2 = 1,25 + 1 = 2,25

Задача 3. Является ли треугольник прямоугольным, если его сторона выражается числами 5, 6, 7? (самостоятельно)

Задача 4. Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально равна 3 м/с (рисунок 13).

IV. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

“Требует вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теореме Пифагора
Верна и как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор”.

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

Домашнее задание.

П. 54, № 483 (а, б), 486 (а, б), стр. 128.

Сильным ученикам найти другой способ доказательства теоремы.

V. Итог урока.

Вопросы к учащимся:

Источник

Презентация к уроку

Цель урока: изучение теоремы Пифагора и ее применение.

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, РС, учебник, раздаточный материал презентация к уроку и флеш проекты учащихся.
Особенностью урока является то, что он базируется на флеш – проектах учащихся.с использованием РС.

«Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!»

1. Пифагор Самосский и история доказательства теоремы (5 мин.) (слайды 5-9)

2. Различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков (3 мин.) (слайды 10-16)

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:
«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так:
Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает:
«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».
Современная формулировка теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

3. Доказательсто теоремы Пифагора (5 мин.) (слайды 17-20)

Доказательство:

1. (а + b) 2 = 4S + c 2
2. 4S = 4 · 1/2 ab = 2 ab
3. а 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2
4. а 2 + b 2 = c 2

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство “убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозваны по этому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

4. Примеры различных способов доказательства теоремы (5 мин.) (слайды 21-29)

5. Примеры применения теоремы Пифагора на практике (18 мин.) (слайды 30-31)

В планиметрии:

1. Квадрат со стороной а и диагональю d.

Рассмотрим применение теоремы Пифагора для нахождения диагонали квадрата со стороной а.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, тогда d 2 = a 2 + a 2 откуда: d 2 = 2a 2 d = а 2

2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b.
По теореме Пифагора: d 2 = a 2 + b 2

Рассмотрим пример вычисления диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см.

3. Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом по теореме Пифагора

а 2 = h 2 + (1/2a) 2
h 2 = a 2 – (1/2a) 2 h = 1/2a3

Рассмотрим пример вычисления длины высоты в равностороннем треугольнике со стороной 4 см.

В стереометрии:

Вычисление длины диагонали прямоугольного параллелепипеда

В архитектуре:

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r = b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 – p.
По теореме Пифагора имеем: (b/4 + p) 2 = (b/4) 2 + (b/2 – p) 2
Решив данное уравнение, легко найти радиус внутренней окружности р = b/6

В строительстве:

Возможно, кто-то сочтёт приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Но это не так. Если, например, рассматривать треугольную призму как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идёт о том, какой длины нужно сделать боковые рёбра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши. Заметим, что расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:
Чтобы найти площадь поверхности двухскатной крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить площадь чердака Sч на длину стропила и разделить на половину ширины дома.
Например, при строительстве любого сооружения рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом значение теоремы кроме вышесказанного в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

В физике:

В астрономии:

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными)и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков тому, кто первый установит связь с каким – нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса Световой сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

В литературе:

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни.
О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист o Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.
Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

6. Легенда о смерти Пифагора

Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него – мальчик 12 с лицом, перекошенным от ужаса.
– Кто это? – спросил начальник караула у мальчика
– Это Пифагор, – ответил тот.
– Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.
– Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.
– Сколько их было?
– Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца.
– Конец, – сказал начальник.
«Одному только разуму, как мудрому попечителю, должно вверять свою жизнь»

7. Подведение итогов урока. Тест (3 мин)

Тест: (слайды 32-34)

– К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?

– Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?

Раздаточный материал:

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.

Источник

Сокровище геометрии

Римский архитектор Витрувий особо выделял теорему Пифагора «из многочисленных открытий, оказавших услуги развитию человеческой жизни», и призывал относиться к ней с величайшим почтением. Было это ещё в I веке до н. э. На рубеже XVI–XVII веков знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал её одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдётся более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических приложений теореме Пифагора нет равных.

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора для случая равнобедренного прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, — и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

4000 лет спустя

Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!

Самым древним из дошедших до нас доказательствам теоремы Пифагора около 2300 лет. Одно из них — строгое аксиоматическое — принадлежит древнегреческому математику Евклиду, жившему в IV–III веках до н. э. В I книге «Начал» теорема Пифагора значится как «Предложение 47». Самые наглядные и красивые доказательства построены на перекраивании «пифагоровых штанов». Они выглядят как хитроумная головоломка на разрезание квадратов. Но заставьте фигуры правильно двигаться — и они откроют вам секрет знаменитой теоремы.

Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.

Иллюстрация к теореме Пифагора из «Трактата об измерительном шесте» (Китай, III век до н. э.) и реконструированное на его основе доказательство

Именно такое доказательство пытался объяснить своему младшему другу семилетний Гвидо, не по годам смышлёный герой новеллы английского писателя Олдоса Хаксли «Маленький Архимед». Любопытно, что рассказчик, наблюдавший эту картину, отметил простоту и убедительность доказательства, поэтому приписал его. самому Пифагору. А вот главный герой фантастической повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана» знал 25 доказательств теоремы Пифагора, в том числе данное Евклидом; правда, ошибочно назвал его простейшим, хотя на самом деле в современном издании «Начал» оно занимает полторы страницы!

Первый математик

Пифагора Самосского (570–495 годы до н. э.), чьё имя давно и неразрывно связано с замечательной теоремой, в известном смысле можно назвать первым математиком. Именно с него математика начинается как точная наука, где всякое новое знание — результат не наглядных представлений и вынесенных из опыта правил, а итог логических рассуждений и выводов. Лишь так можно раз и навсегда установить истинность любого математического предложения. До Пифагора дедуктивный метод применял только древнегреческий философ и учёный Фалес Милетский, живший на рубеже VII–VI веков до н. э. Он высказал саму идею доказательства, но применял его не систематически, избирательно, как правило, к очевидным геометрическим утверждениям типа «диаметр делит круг пополам». Пифагор продвинулся гораздо дальше. Считается, что он ввёл первые определения, аксиомы и методы доказательства, а также создал первый курс геометрии, известный древним грекам под названием «Предание Пифагора». А ещё он стоял у истоков теории чисел и стереометрии.

Другая важная заслуга Пифагора — основание славной школы математиков, которая более столетия определяла развитие этой науки в Древней Греции. С его именем связывают и сам термин «математика» (от греческого слова μαθημa — учение, наука), объединивший четыре родственные дисциплины созданной Пифагором и его приверженцами — пифагорейцами — системы знаний: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.

Такое простое доказательство

Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание. Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян. Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему: арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось. По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения. Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a 2 = c · m и b 2 = c · n. Тогда a 2 + b 2 = c · (m + n) = c 2 (рис. 4).

Чертёж к возможному доказательству Пифагора

Это всего лишь реконструкция, предложенная одним из историков науки, но доказательство, согласитесь, совсем простое: занимает всего-то несколько строк, не нужно ничего достраивать, перекраивать, вычислять. Неудивительно, что его не раз переоткрывали. Оно содержится, например, в «Практике геометрии» Леонардо Пизанского (1220), и его до сих пор приводят в учебниках.

Такое доказательство не противоречило представлениям пифагорейцев о соизмеримости: изначально они считали, что отношение длин любых двух отрезков, а значит, и площадей прямолинейных фигур, можно выразить с помощью натуральных чисел. Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д. Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.

Существование отношения, не выражаемого натуральными числами, положило конец многим представлениям пифагорейцев. Стало ясно, что известных им чисел недостаточно для решения даже несложных задач, что уж говорить обо всей геометрии! Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.

Мозаика Пифагора

«Мозаика Пифагора» и разбиение ан-Найризи трёх квадратов в доказательстве теоремы Пифагора

Если покрыть плоскость квадратами двух разных размеров, окружив каждый малый квадрат четырьмя большими, получится паркет «мозаика Пифагора». Такой рисунок издавна украшает каменные полы, напоминая о древних доказательствах теоремы Пифагора (отсюда его название). По-разному накладывая на паркет квадратную сетку, можно получить разбиения квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, которые предлагались разными математиками. Например, если расположить сетку так, чтобы все её узлы совпали с правыми верхними вершинами малых квадратов, проявятся фрагменты чертежа к доказательству средневекового персидского математика ан-Найризи, которое он поместил в комментариях к «Началам» Евклида. Легко видеть, что сумма площадей большого и малого квадратов, исходных элементов паркета, равна площади одного квадрата наложенной на него сетки. А это означает, что указанное разбиение действительно пригодно для укладки паркета: соединяя в квадраты полученные многоугольники, как показано на рисунке, можно заполнить ими без пробелов и перекрытий всю плоскость.

Правильный паркет из квадратов и «мозаика Пифагора» на картинах голландских мастеров. Слева: П. де Хох. Хозяйка и служанка во внутреннем дворике. Около 1660 года. Справа: Я. Охтервелт. Бродячие музыканты в дверях богатого дома. 1665 год

* Паркет, или замощение, — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

Источник