теория вероятности в школе в каком классе

Презентация к уроку

В 2003 году было принято решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в школьный курс математики общеобразовательной школы. (Инструктивное письмо №03-93ин/13-03 от 23.09.2003 г. Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы»). Включение в курс математики элементов статистики и теории вероятностей обусловлено значением и местом вероятностно-статистических понятий в общей системе знаний и представлений современного человека. Вероятностно-статистические представления стали неотъемлимой составляющей функциональной грамотности человека, они играют важную роль в самых разных областях его практической деятельности. Без соответствующей подготовки затруднены восприятие и адекватная интерпритация разнообразной социальной, экономической, политической информации. Сегодня практически все естественные и социально-экономические науки построены и развиваются на базе вероятностно-статистических законов, и без соответствующей подготовки учащихся невозможно полноценное изучение этих предметов в школе. Всё это с неизбежностью требует развития вероятностно- статистического мышления подрастающего поколения. Одновременно именно вероятностно-статистическая линия, или как её стали называть в последнее время стохастистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребёнка, способна содействовать усилению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности. Но изучение данного материала представляет для учителей некоторые трудности. Изложение этих тем, как правило, не носило систематического и целостного характера. Учителя не всегда обращались к этим темам и не включали их в учебный план, так как дисциплина не была включена в государственный стандарт. Теперь это произошло. Даже некоторые задачи включены в ГИА 9 класса. Необходимость в изучении этих тем стала реальной.

В стандартах второго поколения по математике 5-9 класс написано, что в предлагаемом примерном тематическом планировании элементы вероятностно-статистической линии включены в курс, начиная с 5-6 класса. В то же время начало изучения этого материала может быть отнесено и к 7-9 классам. Но, как показывает опыт преподавания всё же лучше начинать изучать эти темы с 5 класса. По стандартам на изучение отводится 20 часов. В изучение 5-6 класса включены такие темы: «Представление данных в виде таблиц и диаграмм», «Понятие о случайном опыте и событии. Достоверные и невозможные события», «Решение комбинаторных задач перебором вариантов», «Множество, элемент множества. Пустое множество. Подмножества. Объединение и пересечение множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна».

Основы статистики и вероятности становятся сегодня равноправной составляющей нашего обязательного школьного образования. И трудности для учителей в преподавании этих тем всё же остались. Не во все учебники включены эти темы. Мы работаем в 5-6 классе по учебнику Виленкина Н. Я. Здесь есть некоторые задачи по этим темам, а теории нет. Из своего опыта работы могу сказать, что материал можно найти в других учебниках, например, очень удачно изложен данный материал в учебнике «Математика 5 и 6 класс» по редакцией Дорофеева Г. В., «Вероятность и статистика 5-9 класс» Бунилович Е. А., Былычёв В. А., пособие для общеобраз. учеб. завед., М. «Дрофа», 2002г.

Я всегда включаю изучение данных тем с 5 класса. Учащимся в этом возрасте изучение этих тем интересно, они сами находят дополнительный материал, любят проводить эксперименты со случайными событиями.

. Хочу привести пример изучении темы «Комбинаторные задачи». В основной школе с комбинаторной точки зрения вполне достаточно развитых на разнообразных примерах навыков наивного перебора и отбора «руками» важных вариантов, умений производить различно организованный (например, в виде дерева возможных вариантов) перебор случаев, и, разумеется, осознание использования правил умножения, представленного в как можно большем числе разных комбинаций. Я иногда изучение этих тем расширяю.

Тема «Решение комбинаторные задач»(4 часа).

В приложении разработка обобщающего урока и презентация.

Литература.

Приложение 1: Урок «Комбинаторные задачи», 6 а класс

Источник

Элементы теории вероятности в курсе математики основной школы. Урок по теме «Понятие «вероятность». Случайные события»

Разделы: Математика

Изучение элементов статистики и теории вероятностей начинается в 7 классе. Включение в курс алгебры начальных сведений из статистики и теории вероятностей направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации. В современных школьных учебниках понятие вероятности случайного события вводятся с опорой на жизненный опыт и интуицию учащихся.

Хотелось бы заметить, что в 5-6 классах учащиеся уже должны получить представления о случайных событиях и их вероятностях, поэтому в 7-9 классах можно было бы быстрее знакомить с основами теории вероятности, расширить круг сообщаемых им сведений.

Наше образовательное учреждение апробирует программу «Начальная школа 21 века». И я как учитель математики решила продолжить апробацию этого проекта в 5-6 классах. Курс реализован на базе учебно-методического комплекта М.Б.Воловича «Математика. 5-6 классы». В учебнике «Математика. 6 класс» на изучение элементов теории вероятностей отводится 6 часов. Здесь даются самые первые предварительные сведения о таких понятиях, как испытание, вероятность появления случайного события, достоверные и невозможные события. Но самое главное, что ученики должны усвоить, – при небольшом числе испытаний невозможно предсказать результат случайного события. Однако, если испытаний много, то результаты становятся вполне предсказуемыми. Чтобы учащиеся осознали, что вероятность появления события может быть подсчитана, дается формула, позволяющая вычислить вероятность наступления событий в случае, когда все рассматриваемые исходы «одинаковы».

Тема: «Понятие «вероятность». Случайные события».

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

III. Объяснение нового материала

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием.
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Проведем опыт 1: Петя 3 раза подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел» – монета упала гербом вверх. Догадайтесь, возможно ли это?
Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают совершенно случайно.

Опыт 2: (учащиеся работают в парах) Подбросить монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз выпадет орел. Записать результаты в тетради.
В классе подсчитать, сколько всеми учениками было проведено опытов и каково общее число выпадений орла.

Опыт 3: Ту же самую монету подбрасывали вверх 1000 раз. И все 1000 раз выпал «орел». Догадайтесь, возможно ли это?
Обсудим этот опыт.
Подбрасывание монеты называют испытанием. Выпадение «орла» или «решки» – исходом (результатом) испытания. Если испытание повторяют много раз при одних и тех же условиях, то сведения об исходах всех испытаний называют статистикой.
Статистика фиксирует как число m интересующих нас исходов (результатов), так и общее число N испытаний.
Определение: Отношение называется статистической частотой появления интересующего нас результата.

В XVIII веке французский ученый, почетный член петербургской академии наук Бюффон для проверки правильности подсчета вероятности выпадения «орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него выпал 2048 раз.
В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012 раз.
Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую частоту появления интересующего нас результата, m = 12 012, N = 24 000. Получим = 0,5005.

Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Вероятность того или иного события проще всего подсчитать, если все n возможных исходов «одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ перед остальными).
В этом случае вероятность P вычисляется по формуле Р = , где n – число возможных исходов.
В примере подбрасывании монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2. Вероятность Р выпадения «орла» равна .
Опыт 4: Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет:
а) 1 очко; б) более 3 очков.
Ответ: а ) , б) .

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

IV. Физкультминутка

V. Закрепление

Задача 1:

Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) Бросили две игральные кости. Выпало 2 очка. (достоверное)
б) Бросили две игральные кости. Выпало 1 очко. (невозможное)
в) Бросили две игральные кости. Выпало 6 очков. (достоверное)
г) Бросили две игральные кости. Выпало число очков, меньше, чем 13. (достоверное)

Задача 2:

В коробке лежит 5 зеленых, 5 красных и 10 черных карандашей. Достали 1 карандаш. Сравните вероятности следующих событий, используя выражения: более вероятное, менее вероятное, равновероятные.

а) Карандаш оказался цветным;
б) карандаш оказался зеленым;
в) карандаш оказался черным.

а) равновероятные;
б) более вероятное, что карандаш оказался черным;
в) равновероятные.

Задача 4: Для украшения елки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зеленых, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?

а) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет красным.
б) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет зеленым.
в) Из коробки вытащили наугад 2 шара. Может ли так оказаться, что оба шара будут красными?

VII. Итог

– Вы узнали самые сведения из теории вероятностей – что такое случайное событие и статистическая частота результата испытания, как вычислить вероятность случайного события при равновозможных исходах. Но надо помнить, что не всегда удается оценить результаты испытаний со случайным исходом и найти вероятность события даже при большом числе испытаний. Например, нельзя найти вероятность заболевания гриппом: слишком много факторов каждый раз влияет на исход этого события.

Источник

Теория вероятности в школе в каком классе

выступление на Педагогическом марафоне работников образовательных учреждений Наро-Фоминского района 28 марта 2011 года (видео-презентация)

Содержание проводимой работы определяется следующим образом:

Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и нерепрезентативные выборки.

Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятностей. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и Невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.

Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5–6 классах.

Основное содержание по темам

Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)

Описательная статистика. Вероятность. Комбинаторика. Множества (20 ч)

Представление данных в виде таблиц, диаграмм.

Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, выполнять вычисления по табличным данным, сравнивать величины, находить наибольшие и наименьшие значения. Выполнять сбор информации в несложных случаях, организовывать информацию в виде таблиц и диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ.

Понятие о случайном опыте и событии. Достоверное и невозможное события. Сравнение шансов.

Приводить примеры случайных событий, достоверных и невозможных событий. Сравнивать шансы наступления событий.

Решение комбинаторных задач перебором вариантов.

Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделять комбинации, отвечающие заданным условиям.

Множество, элемент множества. Пустое множество. Подмножество. Объединение и пересечение множеств.

Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Приводить примеры конечных и бесконечных множеств. Находить пересечение и объединение конкретных множеств. Иллюстрировать теоретико-множественные понятия с помощью кругов Эйлера.

Учебники «Математика-5» и «Математика-6» (Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд) не содержат материал по теме «Вероятность. Комбинаторика» как органическую часть курса, к ним не подготовлены специальные вкладыши. В учебнике 5 класса всего 13 задач на перебор вариантов. Поэтому на уроке я активно использую дополнительную литературу.

Работа по формированию первоначальных комбинаторных, вероятностных и статистических представлений у учащихся 5-6-х классов – пропедевтический этап работы. При этом:

· Мотивация введения того или иного понятия должна быть хорошо продумана;

· Необходима постоянная опора на жизненный опыт учащихся;

· Определение понятий, их описания формулируются лишь на основе рассмотрения доступных школьникам, интересных и адекватных примеров.

Источник

Теория вероятностей

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Урок 2. Понятие о теории вероятностей и математической статистике

Тип урока : урок формирования и совершенствования знаний, умений и навыков

Цель урока:

Создать условия, необходимые для рассмотрения этапов развития теории вероятностей, элементов теории вероятностей, научить решать задачи на заданную тему

— изучить предмет теории вероятностей и математической статистики, место теории вероятностей в системе научного познания мира, научить в процессе реальной ситуации определять термины теории вероятностей, научить решать задачи из жизни

— формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования межпредметных связей теории вероятностей и различных наук, владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями, развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства), способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию;

— развитие самостоятельности и навыков самоконтроля, способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитического мышления, смысловой памяти, внимания, развитию навыков исследовательской деятельности

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, элементы исследовательской деятельности

Оборудование и материалы для урока: доска, экран, монеты, игральные кости, коробка с шарами, карточки с заданиями

На партах учащихся: тексты задач, таблицы для опытов, учебники

2.Вводная беседа. Актуализация знаний

3.Постановка темы, цели, задач урока

5.Решение задач и проведение экспериментов в группах. Выводы

6.Отчет каждой группы

7.Подведение итогов урока

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только отличные оценки.

Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики, который мы с вами начали изучать.

А сейчас мы определим ключевое слово нового раздела. Я предлагаю вам разгадать кроссворд:

Прямоугольник с равными сторонами

Одна сотая часть числа

Место, занимаемое цифрой в записи числа

Результат вычитания величин

Наименьшее натуральное число

Метод Эратосфена, в котором простые числа “отсеиваются” от составных

Одно из измерений прямоугольного параллелепипеда, которого нет у прямоугольника

Число, которое делится на каждое из данных чисел

Выражение, содержащее числитель и знаменатель

III. Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?

Учитель: Начнем урок с проблемной задачи, ведь скоро вы станете студентами и можете попасть в такую же ситуацию. Как вы считаете, что надо применить для решения этой задачи? Встречались ли вы раньше с такого рода задачами? Где? Когда? Что вы помните из изученного раньше? Приведите примеры таких задач из своего жизненного опыта.

Так вот, чтобы помочь студенту, научиться решать задачи по теории вероятностей и успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо обновить свои знания и изучить этот раздел математики.

IV . Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Российский создатель теории вероятности А. Н. Колмогоров писал: «вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Предметом изучения теории вероятностей должна быть именно вероятность математическая (Р), как объективная мера возможности появления случайных событий.

Учитель: Численное значение вероятности рассчитывается из классического определения, по которому вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев.

Учитель: Вот теперь мы вернемся к решению задачи, которую я поставила перед вами в начале урока.

Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет.

Ответ: .

Учитель: А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях, провести эксперимент и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями, таблицы и материалы для экспериментов на столах. Если вам надо вспомнить материал предыдущих тем, воспользуйтесь учебником или моей помощью. Помогайте друг другу при решении.

(Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

1 группа Задача № 1. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3?

Исключаем 7 четных номеров жетонов (делятся на 2), а также нечетные номера 3, 9, 15(делятся на 3); получаем Тогда Ответ:

2 группа Задача № 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

Решение. Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором.

Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

Источник