тор поверхность какого порядка
ПОВЕРХНОСТЬ ОТ ВРАЩЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ
Аннотация
Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.
Ключевые слова: вращение; ось; окружность; сфера; тор; мнимое сопровождение; сингулярность; двойные точки.
Введение
1. Круговой тор
Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.
Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.
где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.
Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r 2 + R 2 ).
Исследование тора сечениями.
Три вида точек поверхности тора.
В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k1k2. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k1 и k2 имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K
Площадь поверхности и объём тора.
Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:
2. Мнимое сопровождение тора
* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].
. 3. Сфера от вращения окружности
Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.
В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.
Пусть ось расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.
Уравнение образующей окружности:
c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.
Заключение
Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их «иероглифами анализа» не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.
Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.
Список литературы
Рисунки к докладу
а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки
Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения
Задание сферы Ω(R) образующей окружностью c(r) и осью вращения a
