у какого четырехугольника диагонали перпендикулярны

У какого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

а) S(ABE) = S(ACE), так как треугольники ABE и ACE имеют общее основание АЕ, и равные высоты, проведенные из вершин В и С соответственно (расстояние между параллельными прямыми AD и ВС неизменно).

б) Теперь рассмотрим трапецию ВАЕС. Из вершин А и Е проведем перпендикуляры к ВС, основания которых обозначим М и N соответственно.

Вспомним, что если у четырехугольника диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон обязаны быть равными. Следовательно,

Пусть NC = x, тогда BM = 4 − 2 − x = 2 − x.

В прямоугольном треугольнике аналогично в прямоугольном треугольнике

Но Следовательно,

Ответ: б)

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M. Известно, что AD = 8, AB = 4, угол CDB равен 60 градусов.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите длину EM.

а) Углы ∠BDC и ∠BAC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда в ΔABE угол ∠ABE = 30° (так как ∠BAC = 60°). Обозначим точку пересечения прямой ME со стороной AB за K. Тогда в прямоугольном треугольнике BKE угол ∠BEK = 60°. Далее, ∠BEK = ∠MED = 60° (как вертикальные). Отсюда получаем, что ΔEDM — равносторонний (так как все углы по 60°), то есть EM = ED = MD

x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.

б) Из ΔABE получаем, что Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:

Отсюда получаем, что

Ответ:

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM — медиана треугольника CED.

б) Найдите EM, если AD = 8, AB = 4 и угол CDB равен 60°.

а) углы ∠BDC и ∠BAC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда в треугольнике ABE угол ∠ABE = 30° (так как ∠BAC = 60°). Обозначим точку пересечения прямой ME со стороной AB за K. Тогда в прямоугольном треугольнике BKE угол ∠BEK = 60°. Далее, ∠BEK = ∠MED = 60° (как вертикальные). Отсюда получаем, что — равносторонний (так как все углы по ), то есть EM = ED = MD = x. Так как в прямоугольном треугольнике CED против угла в 30° лежит катет, в 2 раза меньший гипотенузы, то CD = 2x. Получили, что так как DM = x, точка M является серединой гипотенузы CD, то есть EM — медиана ΔCED. Что и требовалось доказать.

б) из ΔABE получаем, что Тогда по теореме Пифагора из ΔADE получаем:

Отсюда получаем, что

Ответ:

В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов.

А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны.

А) Пусть биссектриса угла А пересекает BC в точке M, биссектриса угла С — AD в точке Q, биссектриса угла В — AD в точке F, биссектриса угла D — BC в точке E. Четырехугольник, ограниченный биссектрисами обозначим KHRP (см. рис.)

Соединим отрезками точки E и Q, M и F.

∠BMA = ∠MAF = 30° как внутренние накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей AM. Поскольку ∠BA = 30°, Δ ABM — равнобедренный, AB = BM. Аналогично получим: AF = FM.

Кроме того, ∠BAF = ∠ABF = ∠AFB = 60°, т. е. Δ ABF — равносторонний. Аналогично с Δ BMF. Отсюда вывод — четырехугольник ABMF — ромб (по признаку), у которого диагонали BF и AM обязаны быть перпендикулярными.

Аналогично получим: QECD — ромб, Δ ED — равносторонний. Значит, ∠CED = ∠FBE = 60°. Эти углы являются соответственными при прямых BF, ED и секущей BC. Значит, FBED — параллелограмм, откуда KP || HR.

В ромбе QECD диагонали QCи D также будут взаимно перпендикулярными. Следовательно, отрезки KH, PR, будучи перпендикулярными к параллельным KP, HRbокажутся параллельными. Таким образом, KHRP — прямоугольник. А у прямоугольника диагонали равны, что и требовалось доказать.

Б) Два равносторонних треугольника ABF и ED с равными сторонами AB и CD будут равными. Далее:

; ; ;

Аналогично, Следовательно,

Ответ: Б)

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.

а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CЕD.

б) Найдите длину отрезка ЕМ, если АD = 8, АВ = 4 и угол CDВ равен 60°.

а) Вписанные углы ВАС и BDC опираются на одну и ту же дугу заданной окружности, следовательно,

Пусть F — точка пересечения МЕ с АВ.

отсюда: как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. (2)

как вертикальные углы. (3)

Из равенств (1)–(3) получим: Отсюда: DM = EM. Аналогично можно доказать, что CM = EM. Следовательно, EM — медиана треугольника CЕD.

б) В прямоугольном

Значит,

В в котором по теореме Пифагора:

В прямоугольном

Так как М — середина гипотенузы прямоугольного треугольника DEC, то она равноудалена от вершин этого треугольника, значит,

Ответ: б)

Аналоги к заданию № 505691: 505787 508157 Все

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.

а) Докажите, что BH = DH.

б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

а) Чтобы найти площадь трапеции поступим так.

Отложим на луче НС от точки С отрезок, равный АВ, конец отрезка обозначим К, соединим отрезком точки В и К. Полученный четырехугольник ВАСК — параллелограмм по признаку параллелограмма (AB || KС, AB = KС). Значит, BK || AC (по определению параллелограмма). По условию задачи известно, что Так как BK || AC, то т. е. Следовательно, около можно описать окружность с центром в точке Н и радиусом R = BH = KH = DH. Итак,

Из последнего равенства получаем и то, что требовалось доказать в подпункте «а», т. е. BH = DH. Далее. KD = KC + CD = AB + CD. Но по свойству средней линии трапеции. т. е. Отсюда вывод: в равнобочной трапеции, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, высота равна средней линии этой же трапеции.

б) Так как площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты, то площадь трапеции будет равна квадрату ее средней линии.

Замечание: то, что требуется доказать подпунктом «а», можно было вести и так:

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что BH = DH. Поскольку заданная трапеция равнобедренная, в Значит, как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА, СD и секущей ВD. Следовательно, В таком случае в где

Отсюда: — равнобедренный, т. е. BH = DH, что и требовалось доказать.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 10.

а) Пусть BD и AC пересекаются в точке M. Так как ABCD — описанный четырёхугольник, Будем считать, что и Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем и Отсюда следует, что то есть и Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.

б) Пусть O — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус поэтому Допустим, что тогда и Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать следовательно, Аналогично поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен Площадь же четырёхугольника ABCD равна Искомый радиус вписанной окружности равен

Ответ: б)

Источник

math4school.ru

Четырёхугольники

Основные определения и свойства

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Описанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Площадь ромба можно определить:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

Дельтоид

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Ортодиагональные четырёхугольники

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Источник