В чем заключается гипотеза плоских сечений

Рис 2. помещено в произ­вольной ее точке. Координатную ось z совместим с нейтральной осью сечения. Тогда расстояние какого-либо волокна тп (рис. 2, б) до нейтрального слоя будет равно величине координаты у соответствующей точки т сечения.

Обозначим радиус кривизны нейтрального волокна через р. Тогда волокно тп будет иметь радиус кривизны и длину .

Абсолютное удлинение волокна тп : .

Относительное удлинение

Здесь имеют абсолютные значения величин . Кривизну принято считать положительной, если центр кри­визны обращен в положительную сторону оси у, и отрицательной в обратном случае. В нашем случае > 0 и у

Дата добавления: 2015-01-26 ; просмотров: 2329 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Гипотеза плоских сечений и принцип Сен-Венана

Гипотеза плоских сечений и принцип Сен-Венана

Уже усовершенствованная Эйлером, она называется теорией Бернулли-Эйлера или технической теорией изгиба. Гипотеза Бернулли не совсем верна, но расчеты, основанные на ней, очень точны, но они точны в том случае, когда

балка нагружена сосредоточенной силой. Гипотеза плоского сечения, дает Людмила Фирмаль

представление о характере деформированного состояния стержня. Рассмотрим два бесконечно близких участка пучка на расстоянии dz один от другого фиг. 147). Определим деформацию элементов TP, параллельных оси g и окруженных между двумя участками; их длина равна dz. Поместите оси X и y в плоскости левого сечения, а координаты точек/ » X, y, 0 суть; суть точек n-x, y, dz. Рассмотрим движение правой секции влево, принимая во внимание,

что последняя неподвижна. Изгибная деформация обусловлена тем, что правый участок, во-первых, движется вдоль оси z на величину edz, во-вторых, вращается на угол xx-dz относительно оси x и, наконец, благодаря оси y Парал на угол Xu-dz.- Теория изгиба, график 2 2 / напряжение изгиба[CHAP. IX Сегмент TP получает удлинение e dz и, соответственно, его относительное удлинение равно e.

Нужно помнить, что эта ассимиляция ошибочна. Мы называем волокном материальную линию, которая была до деформации прямыми линиями, параллельными оси стержня. Координаты x и y пересечения плоскости и волокна произвольного сечения называются координатами волокна. Таким образом, формула (102.1) указывает, что удлинение волокна является линейной функцией его координат. Для перехода к напряженному состоянию важно отметить, что напряженное состояние волокна является состоянием простого растяжения, и в плоскости, параллельной оси

стержня, нормальное напряжение следует понимать только в том смысле,ч Людмила Фирмаль

напряжениями изгиба. Действительно, обратимся к фигуре. 148, показана квадратная поперечная балка длиной B со стороной B/, нагруженная давлением, распределенным по верхней плоскости p. Все силы, действующие на балку П=р фунт. Используя оценку A, находим: /* Отрежьте горизонтальную плоскость луча. В этой плоскости ясно, что нормальное напряжение a ’действует, и если плоскость близка к верхней границе, a’ мало отличается от (- p), а если плоскость поперечного сечения близка к нижней стороне§SW]изгиба. Интерфейс примерно такой: «он не сильно отличается от нуля. И так оно и есть. Если сравнить St и o, то можно увидеть, что o очень мало по сравнению с искусством. Если порядок малости касательного напряжения равен B[1, то порядок малости St’is*//. Итак,

предположим, что каждое волокно растянуто в продольном направлении, а напряжение CT связано в простейшей форме с законом e Гука: Ст = ДВ. Из Формулы (102.1)、: Ст=е (Ху-Иух е). (102.2)очевидно, что рассуждения, которые привели нас к тому, что каждое волокно можно считать находящимся в условиях простого натяжения, часть балки, непосредственно примыкающая к месту приложения сосредоточенной силы, не может быть рассчитана, так как сосредоточенная сила приложена к балке по схеме плоского поперечного сечения. Отклонение от закона плоского поперечного сечения значимо, площадь мала, длина ее порядка поперечной величины. Для изгиба принцип Сен-Венана, подробно описанный в§ 17 для растяжимого сжатия, остается в силе. Вся моя сила

удержания и изгиб считаются. Мы приходим к выводу, что гипотеза плоского сечения и принцип Сен-Венана справедливы только в том случае, если длинные стержни непрерывного профиля, то есть поперечные размеры одного порядка, а для тонкостенных стержней, если размер одной стороны значительно больше, чем размер другой, то оценка относительного порядка вертикальных напряжений и поперечных сечений может быть получена только в том случае, если длина стержней одного сечения значительно превышает размерность другого.、

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

В чем заключается гипотеза плоских сечений

Рассмотрим стержень (крыло самолета, лопатку компрессора и т. д.) под действием поперечной нагрузки (рис. 8.1). Ось z направлена вдоль оси стержня, оси х, у лежат в плоскости А поперечного сечения.

Проведем сечение (см. рис. 8.1) и заменим отброшенную правую часть тела равнодействующими внутренних сил (рис. 8.2).

Рис. 8.1. Лопатка компрессора под действием изгибающей нагрузки

Рис. 8.2. Силовые факторы в сечении стержня

В общем случае для равновесия оставленной части тела необходимо и достаточно приложить три составляющие вектора усилия и три составляющие вектора момента. Векторы Q и называются поперечными или перерезывающими силами; N — продольная или нормальная сила; моменты М и называются изгибающими моментами; — крутящий момент (см. рис. 8.2).

В пределах упругости материала кручение можно рассматривать независимо от других деформаций; оно было описано ранее, и потому в дальнейшем считаем

Замечание. В приведенном соглашении о знаках силовых факторов существенно, что рассматриваются усилия, действующие на левую часть стержня (нормаль к сечению идет в положительном направлении оси z). В силу равенства действия и противодействия в таком же сечении, но принадлежащем правой части стержня (рис. 8.3), силы и моменты будут точно такими же, но противоположно направленными. Естественно, что для правой части стержня (внешняя нормаль к сечению направлена вдоль отрицательного направления оси z) положительные направления будут противоположными.

Рис. 8.3. Силовые факторы, приложенные к левой и правой частям стержня: а — положительные силовые факторы в сечении стержня; б — правило знаков для перерезывающей силы и изгибающего момента

Подобное обстоятельство встречалось, ранее (разд. 3) при установлении знаков напряжений.

Таким образом, правило знаков зависит от направления внешней нормали к сечению и принятой системы координат. На рис. 8.3 показаны положительные силовые факторы в сечении стержня.

Гипотеза плоских сечений.

Точное решение задачи о распределении нормальных и касательных напряжений при изгибе стержня представляет большие трудности.

В инженерной практике нашло широкое признание приближенное решение, основанное на знаменитой «гипотезе плоских сечений», впервые использованной (в простейших случаях) еще в работах Бернулли и Эйлера.

Рис. 8.4. Распределение упругого смещения в поперечном сечении стержня при изгибе

Гипотеза плоских сечений состоит в следующем: точки плоскости поперечного сечения после деформации лежат в одной плоскости. Физически это означает, что сечение стержня можно представить как тонкую, абсолютно жесткую пластинку, получающую в результате деформации стержня линейное смещение и углы поворота. Перемещение точки А поперечного сечения (рис. 8.4) вдоль оси z по гипотезе плоских сечений будет таким:

где — углы поворота сечения относительно осей х и у соответственно, — смещение вдоль оси z точек оси стержня.

Величины одинаковы для всех точек сечения, но в общем случае зависят от z. Углы упругого поворота сечения в формуле (1) считаются малыми, так что

Замечание. Гипотеза плоских сечений является важнейшим приближенным методом описания деформации изгиба и растяжения стержней. Исследования показывают, что основой гипотезы плоских сечений является предположение о малости углов сдвига элементов по сравнению с углами их поворотов.

При изгибестержней из адизотроппых материалов, у которых модуль сдвига может быть на порядок величины меньше модуля упругости при растяжении, деформации сдвига возрастают и область применения гипотезы плоских сечений становится ограниченной.

Источник

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

Сечения плоские до и после деформации, они только поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью балки (НО). При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) Гипотеза о постоянстве нормальных напряжений. Напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) Гипотеза об отсутствии боковых давлений. Соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений в элементарной площадке dF, выделенной в поперечном сечении F балки в точке с координатами у и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):

, следовательно , поэтому

; (6.10)

, следовательно , поэтому

; (6.11)

, следовательно , поэтому

; (6.12)

Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно нейтральной оси (НО) на угол , при этом волокно ab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a₁b₁, а его длина изменится на некоторую величину.

Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a₀b₀ (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезок a₀b₀ до деформации: a₀b₀=dx.

Найдем относительную линейную деформацию , волокна ab изогнутой балки: , следовательно

(6.13)

Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:

(6.14)

Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормальных напряжений по сечению балки:

. (6.15)

Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотношения:

, следовательно , отсюда

; (6.16)

, следовательно , отсюда

; (6.17)

, следовательно , отсюда

. (6.18)

Из анализа (6.16) и (6.17) следует, что оси у и z являются главными осями сечения, а нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Из (6.18) получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе

, (6.19)

Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:

.(6.20)

Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экстремальных значений на поверхности балки, при .

Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:

,(6.21)

где W_z – осевой момент сопротивления

. (6.22)

Таким образом, в случае изгиба условие прочности по нормальным напряжениямможет быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):

.(6.23)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Основные положения сопромата

Формула для определения нормальных напряжений σ = F/S справедлива только для достаточно удаленных от места приложения внешней нагрузки поперечных сечений стержня. Вблизи места приложения внешней нагрузки, в общем случае нагружения, гипотеза плоских сечений не выполняется, поскольку здесь распределение деформаций и напряжений носит более сложный характер и требует точных методов определения.

Основываясь на этом принципе, при расчетах принимают, что в местах приложения внешних сил внутренние силы меняются скачкообразно, т. е. вводится понятие локального напряжения, быстро (моментально) убывающего при удалении от места приложения нагрузки. Если же рассматривать на брусе реальный участок приложения внешней нагрузки, то напряжения распределяются в его близлежащих сечениях по сложным закономерностям, тем не менее, они быстро убывают по мере удаления от площадки, к которой приложена нагрузка..

Основные гипотезы и допущения, принимаемые в сопромате.

При практических расчетах различных конструкций способами и методами сопротивления материалов принимают некоторые упрощения, вызванные невозможностью установить влияние некоторых свойств реальных материалов или элементов конструкций.
Так, например, материал любой детали или конструкции не является строго однородными по структуре, поскольку в его объеме присутствуют различные дефекты, не поддающиеся учету и расчету.

По этой причине в большинстве случаев приходится условно принимать, что физические свойства материала по всему его объему остаются постоянными, пренебрегая этими дефектами и реальной неоднородностью.
Такие упрощения в сопромате называют гипотезами и допущениями.

Гипотезы и допущения принимаемые при расчетах

Гипотеза об отсутствии первоначальных внутренних усилий предполагает, что если нет причин, вызывающих деформацию тела (нагрузка, температура и т. п.), то во всех его точках внутренние усилия равны нулю. Таким образом, не принимаются во внимание силы взаимодействия между частицами ненагруженного тела.

Допущение об изотропности материала предполагает, что материал обладает одинаковыми физико-механическими свойствами во всех направлениях. Это допущение хорошо подтверждается практическими исследованиями для таких материалов, как металлы, пластмассы, камень, железобетон.
Но для некоторых материалов может приниматься лишь приближенно, а для таких материалов, как древесина или слюда приниматься не может, поскольку они явно не обладают одинаковыми свойствами в разных направлениях, т. е. анизотропны.

Допущение об идеальной упругости предполагает, что в известных пределах нагружения материал обладает идеальной упругостью, т. е. после снятия нагрузки деформации полностью исчезают.

Гипотезы и допущения, связанные с деформациями элементов конструкций

Допущение о линейной деформируемости тел предполагает, что перемещения точек и сечений упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения (по сути, это допущение характеризует закон Гука, который применим лишь в определенном интервале нагрузок).

Гипотеза о ненадавливании волокон предполагает, что если мысленно представить брус состоящим из бесконечного количества продольных волокон, то эти волокна не оказывают друг на друга силового воздействия (т. е. не давят друг на друга) в определенном интервале нагрузок и деформаций.

Виды нагрузок, возникающих в конструкциях и их элементах

В процессе работы машин и сооружений их узлы, детали и составные элементы воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменения внутренних сил и деформацию узлов, деталей и т. п.

Действующие на элементы конструкций нагрузки бывают массовыми или объемными (сила тяжести, сила инерции), либо поверхностными силами контактного взаимодействия рассматриваемого элемента с соседними элементами или прилегающей к нему средой (пар, жидкость и т. п.).

При расчете конструкций методами сопротивления материалов в число внешних нагрузок включаются реакции связей и силы инерции (при достаточно быстром ускорении).

Виды деформаций, возникающих в конструкциях и их элементах

Основные деформации, возникающие в процессе эксплуатации конструкций:

Растяжение (тросы, цепи, вертикально подвешенные брусья и т. п.).

Сжатие (колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов и т. п.).

Смятие (заклепки, болтовые соединения деталей)

Кручение (валы, передающие мощность при вращательном движении и т. п.).

На практике очень часто элементы конструкций подвергаются действию нагрузок, вызывающих одновременно несколько основных деформаций.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник