В чем заключается гипотеза пуанкаре
Что доказывает теорема Пуанкаре о возвращении
Все началось еще в конце XIX века, когда ученый из Франции, Анри Пуанкаре, изучал различные части систем, которые могут быть полностью проанализированы. Как обычно, звучит это не так сложно, но именно его труды легли в основу большой задачи и стали одной из загадок, которую ученые современности называют ”Задачами тысячелетия”. Думаю вы легко согласитесь, что если подождать достаточное количество времени, то планеты в небе выстроятся в нужную вам линию. Так же будет и с частицами газа или жидкости, которые могут сколько угодно менять свое положение, но теоретически в один из моментов времени выстроятся относительно друг друга так, как они располагались в момент начала измерений. На словах все просто — рано или поздно это случится, иначе быть не может. Вот только на деле доказать это довольно сложно. Именно над этим и работал Анри Пуанкаре больше века назад. Позже его теории были доказаны, но от этого не стали менее интересными.
Теорий, гипотез, теорем и просто рассуждений очень много. Все их надо доказывать.
Кто такой Анри Пуанкаре
Жюль Анри Пуанкаре (фр. Jules Henri Poincaré) родился 29 апреля 1854 в Нанси, Франция, а умер 17 июля 1912 в Париже, Франция. Он был французским ученым, в сферу интересов которого входили самые разные науки. Среди них были: математика, механика, физика, астрономия и философия.
Кроме того, что он занимался исследованиями, Анри Пуанкаре в разные годы также был главой Парижской академии наук, членом Французской академии и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
Физики зафиксировали квантовый шум в лаборатории LIGO – что нужно знать?
Чуть ли не единогласно историки называют Анри Пуанкаре одним из величайших математиков всех времён. Его ставили в один ряд с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени.
Анри Пуанкаре сделал для математики настолько много, что некотрые его труды до сих пор приносят нам пользу.
Перу Анри Пуанкаре принадлежат более 500 статей и книг. Все это говорит о нем, как о гении, который даже спустя более 100 лет после своей смерти может изменить мир будущего своими теориями, формулами, рассуждениями и прочими научными трудами.
Что такое теорема возвращения Пуанкаре
Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорий эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность. На это потребуется огромное, но конечное количество времени.
С одной стороны, все логично, но есть у данной теории и немного непонятное следствие. Например, у нас есть сосуд, который разделен перегородкой на два отсека. В одном находится газ, а во втором ничего. Если убрать перегородку, то газ заполнит собой весь сосуд. Если верить теории повторения, то рано или поздно все частицы газа должны выстроиться в изначальной последовательности в половине сосуда.
Немного развязывает руки то, что время, которое на это потребуется, может быть очень большим. Но такое следствие не совсем корректно, так как изменились условия наблюдения. Зато, если говорить о том, что перегородку мы убирать не будем, объем газа не изменится и ему не придется нарушать законы физики, произвольно меняя свою плотность, и частицы газа рано или поздно действительно займут те места, в которых они были на момент начала наблюдений.
Есть такие загадки науки, которые были понятны гению, но после него никто так и не может этого доказать. Хотя, все понимают, что автор был прав.
Теория Пуанкаре в квантовой системе
Если мы говорим о том, что в традиционной системе повторения возможны и даже неизбежны, то можно предположить, что в квантовой системе, в которой возможны несколько состояний, все немного иначе. Оказывается, это не так, и труды Пуанкаре могут быть применены и к квантовым системам. Однако правила будут немного иными.
Проблема применения заключаются в том, что состояние квантовой системы, которая состоит из большого количества частиц, не может быть измерено с большой точностью, не говоря уже об идеальном измерении. Более того, можно сказать, что частицы в таких системах можно рассматривать в качестве полностью независимых объектов. Учитывая запутанности, не сложно понять, что при анализе таких систем придется столкнуться с большим количеством сложностей.
Несмотря на это, ученые не были бы учеными, если бы не попытались продемонстрировать эффект повторения Пуанкаре в том числе и в квантовых системах. Сделать это у них получилось. Вот только пока это возможно только для систем с очень небольшим числом частиц. Их состояние нужно измерить как можно точнее и обязательно учесть его.
Сказать, что сделать это сложно — ничего не сказать. Главная сложность в том, что время, которое потребуется системе для возвращения в исходное состояние, будет очень сильно возрастать даже при незначительном увеличении количества частиц. Именно поэтому некоторые ученые анализируют не систему в целом, а ее отдельные частицы. Они пытаются понять, возможно ли возвращение к первоначальному значению некоторых участков этой системы.
Для этого они изучают и анализируют поведение ультрахолодного газа. Он состоит из тысяч атомов и удерживается на месте при помощи электромагнитных полей. Описать характеристики подобного квантового газа можно несколькими величинами. Они говорят о том, насколько тесно могут быть связаны частицы с помощью эффектов квантовой механики. В обычной жизни это не так важно и может даже показаться чем-то ненужным, но в квантовой механике это имеет решающее значение.
В итоге, если понять, как такие величины характеризуют систему в целом, можно будет говорить о возможности квантового возвращения. Получив такие знания, можно более смело говорить о том, что мы знаем, что такое газ, какие процессы в нем происходят и даже прогнозировать последствия воздействия на него.
Квантовые системы сильно отличаются от всего, что мы можем себе представить.
В последнее время ученые смогли доказать, что квантовые состояния могут возвращаться, но некоторые поправки в концепцию повторения внести все же стоит. Не стоит пытаться измерить всю квантовую систему в целом, ведь эта задача близка к невозможности. Куда правильнее будет сосредоточиться на некоторых ее элементах, которые можно измерить и предсказать поведение системы в целом.
Если сказать более смело, то такие исследования и наработки в сфере самых разных наук приближают создание настоящего квантового компьютера, а не тех тестовых систем, которые существуют сейчас. Если дело продвинется, то нас ждет большое будущее. А сначала казалось, что это просто измерение чего-то непонятного. Не так ли?
О гипотезе Пуанкаре. Лекция в Яндексе
Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет (легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку). Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.
Доказать гипотезу Пуанкаре удалось только в 2003 году. Доказательство принадлежит нашему соотечественнику Григорию Перельману. Эта лекция проливает свет на объекты, необходимые для формулировки гипотезы, историю поиска доказательства и его основные идеи.
Читают лекцию доценты механико-математического факультета МГУ к. ф-м. н. Александр Жеглов и к. ф.-м. н. Федор Попеленский.
Если не вдаваться в математические подробности, то вопрос, поднимаемый гипотезой Пуанкаре можно следующим образом: как охарактеризовать (трехмерную) сферу? Чтобы правильно понять этот вопрос, нужно познакомиться с одним из важнейших понятий в топологии – гомеоморфизмом. Разобравшись с ним, мы сможем точно сформулировать гипотезу Пуанкаре.
Чтобы совсем уж не залезать в математические подробности формального определения, мы скажем, что две фигуры считаются гомеоморфными, если можно установить такое взаимно-однозначно соответствие между точками этих фигур, при котором близким точкам одной фигуры соответствуют близкие точки другой фигуры и наоборот. Пропущенные нами подробности состоят как раз в адекватной формализации близости точек.
Легко понять, что две фигуры гомеоморфны, если одну из другой можно получить произвольной деформацией, при которой запрещено «портить» поверхности (рвать, сминать области в точку, делать дырки и т.п.).
Например, чтобы получить из диска полусферу, как показано на картинке выше, нам потребуется просто нажать сверху в его центр, придерживая внешний обод. Можно представлять себе, что поверхности сделаны из идеальной резины, так что все фигуры могут сжиматься и растягиваться как угодно. Нельзя делать только две вещи: разрывать и склеивать.
Более точное (но все же не окончательное с точки зрения строгости) представление о гомеоморфных фигурах мы будем иметь, если разрешим еще одну операцию: можно сделать на фигуре разрез, перекрутить, завязать, развязать и т.п., но потом обязательно заклеить разрез как было.
Приведем еще один пример. Представим себе яблоко, в котором червяк прогрыз ход в виде узла и небольшую пещеру.
С точки зрения топологии поверхность этого яблока все равно останется сферой, т.к. если стянуть все это определенным образом, мы получим поверхность яблока в том же виде, как было до того, как червяк начал его есть.
Для закрепления попробуйте классифицировать буквы латинского алфавита с точностью до гомеоморфизма (т.е. выясните, какие буквы гомеоморфны, а какие — нет). Ответ зависит начертания букв (от типа шрифта или от гарнитуры), и для простейшего варианта начертания он приведен на следующем рисунке:
Из 26 букв у нас получается всего 8 классов.
На следующей картинке изображены гиря, кофейная чашка, бублик, сушка и кренделек. С топологической точки зрения поверхности гири, кофейной чашки, бублика и сушки одинаковы, т.е. гомеоморфны. Что касается кренделька, то он приведен здесь для сравнения с поверхностью, которую в топологии часто называют кренделем (он изображен в правом нижнем углу рисунка). Как вы, наверное, уже понимаете, и топологический крендель, и съедобный крендель отличаются от тора.
Формальная постановка вопроса
Пусть M – замкнутое связное многообразие размерности 3. Пусть на нем любая петля может быть стянута в точку. Тогда M гомеоморфно трехмерной сфере.
Наибольшую трудность для неподготовленного человека здесь вызывает понятие «многообразия размерности 3» и свойства, выраженные словами «замкнутое» и «связное». Поэтому мы попробуем разобраться со всеми этими понятиями и свойствами на примере размерности 2, в этом случаем многое кардинально упрощается.
Гипотеза Пуанкаре для поверхностей
Пусть M – замкнутая связная поверхность (многообразие размерности 2). Пусть на ней любая петля может быть стянута в точку. Тогда поверхность M гомеоморфна двумерной сфере.
Сначала определим, что такое поверхность. Возьмем конечный набор многоугольников, разбиваем все их стороны (ребра) на пары (т.е. всего сторон у всех многоугольников должно быть четное число), в каждой паре выбираем, каким из двух возможных способов будем их склеивать. Склеиваем. В результате поучается замкнутая поверхность.
Если полученная поверхность состоит из одного куска, а не из нескольких отдельных, то говорят, что поверхность связна. С формальной точки зрения это значит, что после склейки из любой вершины любого многоугольника можно по ребрам пройти в любую другую вершину.
Вот простой пример: если считать, что на картинке выше все треугольники правильные, то после склеивания у нас должен получиться правильный тетраэдр, поверхность которого также гомеоморфна сфере.
Формально нужно требовать, чтобы из любой вершины любого многоугольника после склейки можно было пройти в любую вершину любого многоугольника (по ребрам).
Нетрудно сообразить, что связную поверхность можно склеить и из одного многоугольника. На рисунке видна идея, как это обосновывается:
Рассмотрим примеры простейших склеек:
В первом случае у нас получится сфера:
Во втором случае у нас получится тор (поверхность бублика, мы встречались с ним раньше):
В третьем случае получится так называемая бутылка Клейна:
Если склеивать не все стороны многоугольника, то получится поверхность с краем:
Важно отметить, что после склейки «шрамы» от нее носят чисто «косметический характер. Все точки поверхности равноправны: у любой точки имеется окрестность гомеоморфная диску.
Две поверхности считаются гомеоморфными, если схемы склейки каждой из них можно так разрезать на схемы склейки из более мелких многоугольников, что схемы склейки станут одинаковыми.
Разберем это утверждение на примере разбиения поверхности куба на части, из которых можно сложить развертку тетраэдра:
Верен и более общий факт: поверхности всех выпуклых многогранников – это сферы.
Теперь подробнее остановимся на понятии петли. Петял — это замкнутая кривая на рассматриваемой поверхности. Две петли называются гомотопными, если одну из них можно продеформировать в другую без разрывов и склеек, оставаясь на поверхности. Ниже приведен простейший случай стягивания петли на плоскости или сфере:
Даже если петля на плоскости или сфере имеет самопересечения, ее все равно можно стянуть:
На плоскости можно стянуть любую петлю:
А вот какие петли бывают на торе:
Стянуть такие петли невозможно. (К сожалению, доказательство выходит довольно далеко за рамки нашего рассказа.) Более того, показанные петли на торе не гомотопны. Предлагаем слушателям или читателям найти еще одну петлю на торе, не гомотопную этим двум — это очень простой вопрос. После этого попробуйте найти на торе четвертую петлю, не гомотопную этим трем — это будет несколько сложнее.
Эйлерова характеристика
Теперь, когда мы познакомились со всеми основными понятиями из формулировки гипотезы Пуанкаре, попробуем приступить к доказательству двумерного случая (лишний раз отметим, что это многократно проще трехмерного случая). А поможет нам в этом эйлерова характеристика.
Эйлеровой характеристикой поверхности M назовем число B−P+Г. Здесь Г — число многоугольников, Р — это число ребер после склейки (в случае рассматриваемых поверхностей это половина числа сторон всех многоугольников), B — это число вершин, которое получается после склейки после склейки.
Если две схемы склейки задают гомеоморфные поверхности, то у этих схем числа B−P+Г одинаковы, т. е. B−P+Г является инвариантом поверхности.
Если поверхность уже как-то задана, то надо нарисовать на ней какой-нибудь граф, чтобы после разрезания по нему поверхность распалась на куски гомеоморфные дискам (например, кольца запрещены). Затем подсчитываем величину B−P+Г — это и есть эйлерова характеристика поверхности.
Будут ли гомеоморфны поверхности с одинаковыми эйлеровыми характеристиками, мы узнаем позже. Но совершенно точно можно утверждать, что если эйлеровы характеристики у поверхностей разные, то поверхности не гомеоморфны.
Знаменитое соотношение B−P+Г=2 для выпуклых многоугольников (теорема Эйлера) является частным случаем этой теоремы. В данном случае речь идет о конкретной поверхности — о сфере. Замечание Обозначение: Эйлерову характеристику поверхности M будем обозначать через χ(M): χ(M) = B − P + Γ
Если поверхность M связна, то χ(M) ≤ 2, причем χ(M) = 2 тогда и только тогда, когда M гомеоморфна сфере.
Посмотрев лекцию до конца, вы узнаете, как же все-таки доказывается гипотеза Пуанкаре в размерности 2, и как Григорию Перельману удалось доказать ее в размерности 3.
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Пуанкаре — это доказанная гипотеза о том, что если трёхмерная поверхность чем-то похожа на сферу, и если её расправить, она превратится именно в сферу.
Одна из версий официальной формулировки гипотезы Пуанкаре́ звучит так: «Всякое связное, односвязное, компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S³».
Гипотеза Пуанкаре была сформулирована в 1904 году известным французским математиком Анри Пуанкаре. В 2002–2003 годах она была доказана русским математиком Григорием Перельманом. После этого Гипотеза Пуанкаре стала именоваться теоремой Пуанкаре — Перельман.
Топология — простыми словами это «геометрия резинового листа» или «резиновая геометрия» т.к. объекты растягиваются и сжимаются как резина и их невозможно сломать; топология изучает свойства пространств, которые неизменны под давлением любой непрерывной деформации. Гипотеза Пуанкаре связана с топологией.
Доказательство
Простыми словами: Перельман доказал при помощи потока Риччи, что при эволюции любая замкнутая кривая на плоскости ведёт себя одинаково и превращается в окружность.
В своих статьях, где Перельман опубликовал идеи доказательства, он также доказал гипотезу о геометризации Уильяма Тёрстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.
Гипотеза геометризации Уильяма Тёрстона гласит, что каждое трёхмерное многообразие локально изометрично только одному из восьми различных типов (изометрично — в науке это то, что относится к равенству меры или этим характеризуется).
Доказательство Перельмана было основано на теории потока Риччи и использовало результаты Чигера, Громова и самого Перельмана о метрических пространствах.
Метрическое пространство — это набор, где есть функция измерения расстояния между точками и который называется метрикой.
Что доказательство гипотезы дало науке?
В плане астрономии эта теорема предполагает, что если наша Вселенная имеет характеристики односвязного компактного многообразия без края, следовательно, она является трёхмерной сферой. Однако ранее считалось, что Вселенная является бесконечной (т.е. имеет форму евклидового трёхмерного пространства).
Теорема Перельмана — Пуанкаре также имеет огромное значение для математики, особенно способ её доказательства. Эта теорема считается математической формулой Вселенной. Она описывает наш мир, который является гладким трёхмерным многообразием.
Миллион долларов за дырку от бублика Российский математик решил проблему Пуанкаре, но премию получать не спешит
Ученые считают, что 38-летний российский математик Григорий Перельман предложил верное решение проблемы Пуанкаре. Об этом на научном фестивале в Эксетере (Великобритания) заявил профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин.
Ученые всего мира узнали о достижениях Перельмана из двух препринтов (статей, предваряющих полноценную научную публикацию), размещенных автором в ноябре 2002-го и марте 2003 года на сайте архива предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории.
Согласно правилам, принятым Научным консультативным советом института Клэя, новая гипотеза должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем «международную репутацию». Кроме того, по правилам Института, решение о выплате приза принимает, в конечном счёте, «математическое сообщество»: доказательство не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации. Проверкой каждого доказательства занимаются математики в разных странах мира.
Проблема Пуанкаре
Родился 13 июня 1966 года в Ленинграде, в семье служащих. Окончил знаменитую среднюю школу № 239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды советских школьников участвовал в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Был без экзаменов зачислен на матмех Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Получал Ленинскую стипендию. Окончив университет, Перельман поступил в аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова. Кандидат физико-математических наук. Работает в лаборатории математической физики.
Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.
Задача, подобная проблеме Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них проблема Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.
Необходимо отметить, что у Перельмана есть соперник. В апреле 2002 года профессор математики британского университета Саутгемптон Мартин Данвуди предложил свой метод решения проблемы Пуанкаре и теперь ожидает вердикт от института Клэя.
Специалисты считают, что решение проблемы Пуанкаре позволит сделать серьезный шаг в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Метод, который предлагает Григорий Перельман, приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии. Петербургский математик вполне может претендовать на премию Филдса (аналог Нобелевской премии, которую по математике не присуждают).
Между тем, некоторые находят поведение Григория Перельмана странным. Вот что пишет британская газета «Гардиан»: «Скорее всего, подход Перельмана к разгадке проблемы Пуанкаре верный. Но не все так просто. Перельман не предоставляет доказательств того, что работа издана в качестве полноценной научной публикации (препринты таковой не считаются). А это необходимо, если человек хочет получить награду от института Клэя. Кроме того, он вообще не проявляет интереса к деньгам».
Список тысячелетия
ЖЮЛЬ АНРИ ПУАНКАРЕ. Фото с сайта www.ibmh.msk.su
1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
ДЭВИД ГИЛБЕРТ. Фото с сайта www.krugosvet.ru
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких «кирпичиков» и объектов.
 |
| ПРОФЕССОР МАРТИН ДАНВУДИ, ТАКЖЕ ПРЕДЛОЖИВШИЙ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ПУАНКАРЕ. Фото с сайта www.maths.soton.ac.uk |
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)