В чем заключается правило суммы

Правило суммы и правило произведения

п.1. Правило суммы

Например:
На подносе лежит 5 слив и 4 абрикоса.
Сколькими способами можно выбрать фрукт с подноса?
Всего фруктов: 5 + 4 = 9. Значит – 9 способов.

п.2. Правило произведения

Например:
Сколько всего двузначных четных чисел?
В двузначном числе на первом месте могут быть цифры <1; 2; … 9>, n = 9
В двузначном четном числе на втором месте могут быть цифры <0; 2; … 8>, m = 5
Всего nm = 9 · 5 = 45 чисел.

п.3. Исключение «двойного учета» для неупорядоченных пар

При составлении пар порядок бывает неважен: (a, b) или (b, a), – главное, составить пару. В таком случае, например, пары (1; 2) и (2; 1) – одно и то же.
Поэтому правило произведения для неупорядоченных пар:

Например:
В саду поспевает 7 видов фруктов. Было решено сварить компот из любых двух фруктов. Сколько всего различных компотов можно сварить?
Первый фрукт можно выбрать n = 7 способами.
Второй фрукт можно выбрать m = 6 способами.
В данном случае 2 фрукта образуют неупорядоченную пару – неважно, в каком порядке их бросать в кастрюлю. Поэтому \(\mathrm<2>=21>\).
Ответ: 21 различных компотов.

п.4. Примеры

Пример 1. О 4-значном пин-коде карты известно, что первая и последняя цифры у него одинаковые, вторая и третья – разные, и не равны первой цифре.
Сколько всего вариантов такого пин-кода?

В начале и в конце одновременно используются цифры <0;1;…;9>, n = 10
На второй позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованной на первом месте, m = 9
На третьей позиции могут использоваться все цифры, кроме уже использованных на первом и втором месте, k = 8
По правилу произведения общее количество наборов: N = nmk = 10·9·8 = 720.
Ответ: 720 вариантов.

Пример 2. Сколько всего 3-значных чисел, у которых ровно две цифры.
а) семёрки; б) нули?

а) Варианты расстановки семёрок:
77x, x ≠ 7 – таких чисел 9
7×7, x ≠ 7 – таких чисел также 9
x77, x ≠ 7 – таких чисел 8 (слева не может стоять 0)
По правилу суммы: 9 + 9 + 8 = 26

б) Вариант расстановки нулей только x00, x ≠ 0 – таких чисел 9
Других вариантов нет.
Ответ: а) 26 чисел; б) 9 чисел.

Пример 3. На экзамене будет 5 задач по 5 разным темам. Каждая задача берется из списка, в котором 8 задач по теме. Вася умеет решать по 3 задачи из каждой темы.
Сколько всего вариантов билетов может быть на экзамене?
Сколько существует вариантов билетов, за которые Вася получит 5 баллов?
Сколько существует вариантов билетов, в которых Вася не решит ни одной задачи?

В экзамене по каждой теме n = 8 вариантов выбора задачи. По правилу произведения всего возможно N = 8 5 = 32768 вариантов билетов.
Вася готов решать k = 3 задачи по каждой теме. По правилу произведения всего он сможет полностью решить K = 3 5 = 243 вариантов.
Вася не готов решать m = 8 – 3 = 5 задач по каждой теме. По правилу произведения всего он вообще не сможет решить M = 5 5 = 3125 вариантов.
Ответ: 32768; 243; 3125.

Пример 4. Каких пятизначных чисел больше: тех, что не делятся на 5, или таких, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки?

Сколько всего пятизначных чисел? На первом месте – 9 вариантов цифр, на четырёх последующих – по 10 вариантов. Итого: N = 9 · 10 4 = 90000 чисел.
Признак делимости на 5: последняя цифра 5 или 0.
Количество чисел с последней цифрой 5: M₁ = 9 · 10 3 · 1 = 9000.
Аналогично, с последним 0: M₂ = 9 · 10 3 · 1 = 9000.
Итого, чисел, которые не делятся на 5:
M = N – (M₁ + M₂) = 90000 – 2 · 9000 = 72000.
Сколько всего пятизначных чисел, у которых ни первая, ни вторая слева цифры – не пятёрки? На первом месте – 8 вариантов цифр, на втором – 9 вариантов. На остальных – по 10 вариантов.
Итого: K = 8 · 9 · 10 3 = 72000 чисел.
Получаем: M = K – искомых чисел поровну.
Ответ: их поровну.

Пример 5*. На глобусе проведено 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?

Возьмём неразмеченный глобус. Проведем экватор.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим еще одну параллель. Поверхность разделилась на 3 части.
Мы видим, что n параллелей делит поверхность на N = n + 1 частей.
Соответственно, для 17 параллелей, N = 18 частей.

Опять берём неразмеченный глобус. Проведем меридиан.
Поверхность глобуса разделилась на 2 части.
Добавим ещё один меридиан. Поверхность разделилась на 4 части.
Мы видим, что m меридианов делит поверхность на M = 2m частей.
Соответственно, для 24 меридианов, M = 48 частей.
Общее количество частей по правилу произведения (с исключением «двойного учета», т.к. нам всё равно: мы сначала проводили параллели, а потом – меридианы, или наоборот): \(\mathrm<\frac<2>=\frac<48\cdot 18><2>=432>\).
Ответ: 432 части.

Источник

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Источник

Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Решение задач

Непосредственное применение комбинаторных правил произведения (умножения) и суммы.

1) Правило суммы. Если объект Х можно выбрать n способами, а объект Y можно выбрать m способами, причём эти способы выбора несовместны, то объект « Х или Y » можно выбрать n + m способами.

Пример 1. Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Решение. Напиток – это или сок (объект Х ), или минеральная вода (объект Y ). Сок можно выбрать 8-ю разными способами, минеральную воду – 5-ю, причем способы выбора несовместны. Тогда по правилу суммы напиток (объект « Х или Y ») можно выбрать 8+5=13-ю способами.

Пример 2. Пусть есть колода карт (36 листов). Объект Х – карта червовой масти – может быть выбран 9-ю разными способами. Объект Y – туз – может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбран объект « Х или Y » – «червовая карта или туз»?

Задача решается перебором подходящих карт: червовых карт 9 и ещё 3 туза (один уже учтён). Значит, червовую карту или туз можно выбрать 9+3=12-ю способами.

Пример показывает, что при использовании правила суммы необходимо проверять несовместность выборов. В противном случае, можно получить неверный ответ.

На практике интуиция учащихся обычно работает так, что при решении задачи рассматриваются несовместные выборы. Поэтому постоянная проверка условия несовместности «надоедает» и её перестают осуществлять. А это может привести к тому, что «в один прекрасный момент» правило суммы ошибочно будет применено там, где оно не работает! Можно посоветовать учащимся при получении явно неверного ответа вспомнить, что ошибка могла быть именно в этом!

Правило суммы может быть применено к любому конечному числу объектов.

Пример 3. На книжной полке стоит 3 учебника по математике, 4 детектива, 2 задачника по теории вероятностей, 3 любовных романа, 2 сборника стихов и справочник по математике. Сколькими разными способами можно выбрать почитать художественную книгу?

2) Правило произведения. Пусть объект Х может быть выбран n способами и после каждого такого выбора объект Y может быть выбран m способами. Тогда пара « Х и Y » может быть выбрана способами.

Пример. В гардеробе имеется 3 юбки (чёрная, коричневая, фиолетовая) и 4 блузки (белая, сиреневая, желтая и розовая). Сколько разных нарядов можно из них составить?

Решение. Эту задачу можно решать перед формулировкой правила произведения. При этом целесообразно использовать граф для перебора всех вариантов:

Юбку можно выбрать тремя разными способами. Для каждого из них блузку можно выбрать 4-мя способами. Тогда по правилу произведения весь наряд, то есть юбку и блузку, можно выбрать 3 -ю способами.

Правило произведения справедливо для выбора любого конечного числа объектов.

Правило произведения в общем виде. Пусть элемент может быть выбран числом способов. Для каждого способа выбора следующий элемент может быть выбран числом способов. Для каждого способа выбора двух элементов , третий элемент может быть выбран числом способов и т.д. Наконец, для каждого способа выбора элементов элемент может быть выбран числом способов. Тогда кортеж может быть выбран числом способов.

Пример. Сколько существует различных четырёхзначных чисел, составленных из чётных цифр так, что все цифры в числе различны?

Решение. Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Четырёхзначное число – это число, состоящее из четырёх цифр, причем первая цифра не равна нулю. То есть это кортеж . Начинаем составлять число с требуемыми свойствами. Первую цифру можно выбрать 4-мя способами (любую чётную цифру, кроме нуля). Для любого из 4-х способов выбора первой цифры вторую цифру можно выбрать тоже 4-мя способами (любую чётную, кроме той, которая уже выбрана на первое место). После этого третью цифру можно выбрать 3-мя способами. А для любого способа выбора первых трёх цифр четвёртую всегда можно выбрать 2-мя способами. Тогда по правилу произведения все четыре цифры, то есть нужное число, можно выбрать 4 способами. Следовательно, существует 96 различных четырёхзначных чисел, в которых все цифры не повторяются.

Замечание. Необходимо обратить внимание учащихся на равносильность вопросов:

«Сколько существует четырёхзначных чисел, в которых все цифры различны?»

«Сколькими способами можно выбрать четырёхзначное число, в котором все цифры различны?»

«Сколько можно составить четырёхзначных чисел так, чтобы цифры в числе не повторялись?»

Договориться с учениками о способе оформления задач на правило произведения (ступенька!)

1) Составляем трехзначные числа из пяти цифр 6, 7, 8, 9, 0 с повторениями:

первую цифру выбираем 4 способами (ноль нельзя); вторую и третью цифры — 5 способами каждую, всего можно составить 4 • 5 • 5 = 100 различных трехзначных чисел.

2) Составляем трехзначные числа из пяти цифр 6, 7, 8, 9, 0 без
повторений: первую цифру можно составить 4 способами (ноль нельзя),

М-задачи из уч. пособия А.Г.Мордковича

Т- под ред. С.А.Теляковского

3. Т. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

4. Т. Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000?

Для проезда из Дятлова в Матвеевское можно выбрать одну из трех дорог; после этого для проезда из Матвеевского в Першино можно выбрать одну из четырех дорог. Каждый вариант первого выбора может сочетаться с каждым вариантом второго выбора, потому по правилу произведения общее количество вариантов равно: = 12.

6.Т. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

7.Ф. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить?

Если считать, что порядок выбора овощей для салата важен и должен учитываться (что кажется странным), то можно приготовить: 6 • 5 • 4 = 120 вариантов салата. Если порядок выбора значения не имеет, то это число нужно разделить на количество различных перестановок из трех элементов, равное = 3! = 6; тогда получим =20 различных вариантов салатов.

8. Ф. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

Ответ: 15 комбинаций.

9. Т. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов по правилу произведения равно: =180.

Ответ: 180 различных костюмов.

10. Ф. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

Ответ: 16 пар чисел.

11. Ф. Мама решила сварить компот из фруктов двух видов. Сколько различных (по сочетанию видов фруктов) вариантов компотов может сварить мама, если у нее имеется 7 видов фруктов?

12. М. Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов.

Ответ: 36 результатов.

13. Ф. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, если цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными?

В этом случае на первую позицию нельзя выбрать ноль.

2)Если цифры не могут повторяться, то выбор первой цифры возможен 5 способами (без нуля), а выбор второй цифры – также 5 способами (считая и ноль, но исключая ненулевую цифру, выбранную первой). Всего возможно составить = 25 чисел.

14. М. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

б) Сколько среди них чисел, кратных 11?

в) Сколько среди них чисел, кратных 3?

а) Цифру на первую позицию в составленном числе мы можем выбрать 5 разными способами; после этого на вторую позицию цифру можно выбрать также 5 способами (предполагается, что цифры могут повторяться); всего по правилу произведения есть = 25 разных способов выбора и соответственно 25 разных двузначных чисел.

б) Двузначное число кратно 11, если обе его цифры равны, поэтому для составления такого числа достаточно сделать один выбор и выбранную цифру записать на обоих позициях. Одну цифру из 5 данных можно выбрать пятью разными способами, поэтому получаем 5 разных двузначных чисел, кратных 11.

в) Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Чтобы подсчитать количество таких чисел, нужно узнать, сколько среди всевозможных пар, отличающихся составом, но не учитывающих порядка расположения цифр в паре, можно составить из 5 данных цифр, а затем подсчитать, сколько среди этих пар таких, сумма цифр которых делится на 3 (фактически мы используем при этом метод полного перебора).

Составим все возможные пары цифр из 1,3, 5, 7, 9 (без учета порядка):

Таких пар 15. Среди них 5 пар (1-5, 3-3, 3-9, 5-7 и 9-9), сумма цифр которых делится на 3, причем три пары (1-5, 3-9 и 5-7) допускают перестановку, т. е. могут образовать по два разных числа. Таким образом, из данных 5 цифр можно составить 5 + 3 = 8 различных двузначных чисел, кратных 3.

Ответ: а) 25; б) 5; в) 5; г) 8.

15. М. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?

г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

а) Нужно определить, сколько есть разных способов переставить местами 4 полосы разного цвета.

б) Если фиксировать цвет верхней полосы, то цвета следующих полос можно выбрать =6 разными способами; получаем 6 флагов с белой верхней полосой.

в) Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать =6 разными способами; получаем 6 флагов с нижней зеленой полосой.

г) Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно будет составить =6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная или красная, а под ней синяя. Каждую из этих двух двойных полос можно переставлять с оставшимися белой и зеленой полосами, получая по =6 вариантов флага. Поэтому общее количество вариантов по комбинаторному правилу суммы равно 6 + 6=12.

Ответ: а) 24; 6)6; в) 6; г) 12.

Замечание. Можно использовать в рассуждениях и правило произведения: каждый из 2 вариантов «склеивания» полос может сочетаться с 6 вариантами перестановок полос; всего 2 • 6 = 12 вариантов флага.

16.Ф. Сколько существует способов занять 1-е, 2-е и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют: 1) 10 команд; 2) 11 команд?

На первое место можно поставить любую из 10 команд, на второе- любую из 9 оставшихся, на третье- любую из 8 оставшихся; по правилу произведения общее число способов равно

Рассуждая аналогично, получаем различных способов.

17.М. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовали в турнире?

б) Сколько команд играли в зеленых футболках?

в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

б) Если цвет футболки фиксирован, то цвет трусов можно выбрать одним из 5 способов; следовательно, в зеленых футболках играло 5 команд.

г) Рассмотрим два взаимоисключающих случая:

для футболки выбран не красный цвет;

для футболки выбран красный цвет.

Во втором случае цвет футболки фиксирован (красный, а цвет трусов можно выбрать 4 способами (кроме красного); всего есть 4 способа выбора формы.

Ответ: а) 25; б) 5; в) 20; г) 16 команд.

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

а) Первая задача может быть выбрана 10 способами, вторая тоже 10 (из задач другой темы), третья, четвертая и пятая задачи также могут быть выбраны 10 способами каждая; по правилу произведения общее число всех возможных вариантов контрольной работы равно = 105 = 100000.

б) Число вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач, равно = 85 = 32768.

в) Число вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи, равно = 25 = 32.

г) Число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой, равно = 2-84 = 8192.

Ответ: а) 100000; б) 32768; в) 32; г) 8192.

20. Ф. При игре в крестики-нолики на поле размером клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход: ставит крестик в любую из клеток; вторым ходом второй неопытный игрок ста вит нолик в любую из оставшихся свободных клеток, затем третьим ходом первый игрок ставит крестик и т. д. Сколько существует вариантов заполнения клеток после: 1) двух ходов; 2) трех ходов; 3) четырех ходов?

После 2 ходов могут быть заполнены любые две клетки из = 72 возможных вариантов их выбора.

После 3 ходов могут быть заполнены любые три клетки из = 504 возможных вариантов их выбора. После 4 ходов могут быть заполнены любые 4 клетки из = 3024 возможных вариантов их выбора.

Ответ: 1) 72; 2) 504; 3) 3024.

21. М. Три вершины правильного 10-угольника покрасили в рыжий цвет, а остальные — в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

Ответ: 210 отрезков.

22.Ф. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на дежурство по столовой, если в классе: 1) 24 учащихся; 2) 25 учащихся?

Назначая двух дежурных по столовой, мы не учитываем порядок выбора пары из учащихся данного класса.

2)Если в классе 25 учащихся, то, рассуждая аналогично, находим число способов назначения дежурных: =300 способов.

Ответ: 1) 276 способов: 2) 300 способов.

23. Ф. Имеется 7 книг, причем две из них одинаковые, а остальные книги отличаются от этих двух и различны между собой. Сколькими способами можно расставить эти книги на книжки полке при условии, что одинаковые книги в любой последовательности должны стоять рядом?

Поскольку две «склеенные» книги одинаковые, неразличимые то мы не рассматриваем перестановки их между собой.

Ответ: 720 способов.

24. Т. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?

Возможны две модели:

а) считаем, что в каждой паре только один (первый) учащийся передает свою фотографию, а второй только принимает, ничего не отдавая. Тогда порядок выбора имеет значение: есть 24 способа выбрать отдающего и 23 способа выбрать принимающего, всего 24 = 552 пары, в каждой из которых передается фотография.

б) Считаем, что в каждой паре происходит передача одновременно двух фотографий, т. е. учащиеся в паре равноправны, неразличимы. Тогда при образовании пар порядок выбора не имеет значения; количество таких пар равно =276. Количество фотографий будет в 2 раза больше, чем пар, т. е. = 552.

Можно рассуждать и проще: в классе 24 ученика, каждый должен отдать 23 своих фотографии; общее количество фотографий есть 24 • 23 = 522 (это наша первая модель).

Ответ: 522 фотографии.

25. Ф. Вася забыл вторую и последнюю цифры пятизначного номера телефона приятеля. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Васе, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до приятеля?

Васе предстоит проверить 10 вариантов выбора второй цифры и 10 вариантов выбора пятой цифры телефонного номера; остальные цифры, известные Васе, на перебор никак не влияют. По правилу произведения наибольшее число вариантов номеров, которые предстоит проверить Васе, равно = 100 вариантов.

Ответ: максимум 100 вариантов.

Люпшкас В.С. Факультативные курсы по математике: теория вероятностей: Учебное пособие для 9-11 классов.- М.,1991.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2005.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Источник