В чем заключается свойство аддитивности момента инерции

Момент инерции. Свойство аддитивности. Теорема Штейнера. Свободные оси вращения. Понятие о гироскопе его применениях.

Момент инерции тела относительно некоторой оси при вращательном движении представляет собой меру инертности системы.

Величина момента инерции зависит от распределения массы.

Если тело протяжённое, то суммарный момент инерции рассчитывается путём замены суммы на интеграл.

Свойство аддитивности: момент инерции системы МТ относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции тел или частей системы (МТ) относительно этой оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси , проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между этими осями.

Любое тело произвольной формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс, которые называют свободными осями вращения, илиглавными осями инерции.

Например, для параллелепипеда главными осями инерции являются три оси, которые проходят через центры противоположных граней.

Свойство свободных осей сохранять своё положение в пространстве используется в гироскопах.

Гироскопы представляют собой массивные однородные тела, которые с большой угловой скоростью вращаются вокруг своей оси симметрии, которая является свободной осью. Сила тяжести не может изменить ориентацию оси вращения, так как сила приложена к центру масс, и момент силы относительно центра масс равен нулю. Таким образом, как ни вращать гироскоп, направление его оси вращения

останется неизменным в пространстве. Простейший пример гироскопа — юла. Гироскопы используются в навигации (авиагоризонт, гирокомпас) и в системах ориентации и стабилизации космических аппаратов.

Работа при поступательном и вращательном движении. Мощность.

Если сила, действующая на тело, перемещает его на некоторое расстояние, то говорят, что сила совершает работу.

Вывод о том, какова будет величина работы:

1. Если угол между направлениями силы и перемещения лежит в пределах , то сила будет называться движущей, а работа будет положительной .

2. Если , то сила – тормозящая, а работа отрицательна .

Чтобы найти полную работу (при поступательном движении), необходимо произвести интегрирование:

Выражение, которое мы получили для МТ, можно применять и для абсолютно твёрдого тела. В этом случае под величиной перемещения следует понимать перемещение точки приложения сил.

Если на тело действует одновременно несколько сил, то каждая из них совершает работу, а суммарная работа равна сумме работ приложенных сил.

Работа при вращательном движении:

Скорость работы определяется мощностью. Мощность – это работа, совершаемая в единицу времени.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

ИЗУЧЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Цель работы: освоить методику измерения момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний.

Лабораторная работа № 5

ИЗУЧЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Цель работы: освоить методику измерения момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний.

Теоретическое введение

Моментом инерции I_z системы материальных точек относительно оси z называют физическую величину, равную сумме произведений масс материальных точек mi на квадраты расстояний их до оси вращения r_i :

Формула для момента инерции абсолютно твердого тела следует из (5.1), если рассматривать тело как систему частиц (материальных точек) с неизменным расстоянием между ними (рис. 5.1). Заменяя в (5.1) массу материальной точки m_i на массу dm =ρdV элементарного объема dV тела и переходя от суммирования к интегрированию по объему V тела, получим формулу, которую используют для вычисления момента инерции абсолютно твердого тела

где ρ – плотность материала тела.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения, т. е. является мерой инертности при вращательном движении. Напомним, что инертность – это способность тел препятствовать изменению своей скорости относительно инерциальной системы отсчета при воздействии на него внешних сил. Таким образом, чем больший момент инерции относительно некоторой оси имеет тело, тем труднее раскрутить это тело относительно данной оси.

Момент инерции тела зависит от распределения масс относительно данной оси. Если вычислить сумму (5.1) или интеграл (5.2), то момент инерции любого тела можно выразить через массу тела, его геометрические размеры и положение относительно оси вращения. Во многих случаях расчеты существенно упрощаются при использовании двух свойств момента инерции, которые следуют из определения (5.1) этой величины – аддитивность момента инерции и теорема Штейнера.

Аддитивность (от англ. to add – добавлять, суммировать) момента инерции означает, что момент инерции системы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции тел или всех частей системы относительно этой оси. В случае непрерывно распределенной массы (твердого тела) сумма переходит в интеграл

Эта теорема сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Рассмотрим несколько примеров вычисления моментов инерции тел, имеющих простую форму.

Согласно (5.2) момент инерции стержня

Учитывая в (5.11), что V = acb – объем параллелепипеда и m = ρV – его масса, окончательно получим

Описание установки и метода измерений

Если тело имеет сложную геометрическую форму или распределение плотности по объему неизвестно, то вычисление моментов инерции оказывается затруднительным либо невозможным.В этом случае целесообразно использовать экспериментальные методы. В данной работе для определения момента инерции тела I_z применяется крутильный маятник, показанный на рис. 5.5. Исследуемое тело 1 закрепляется с помощью подвижной балки 2 на рамке 3, подвешенной на стальной вертикальной проволоке 4, натянутой между двумя кронштейнами 5, жестко соединенными со стойкой 6 установки. За рамкой имеется электромагнит 7, который фиксирует ее в отклоненном на угол φ₀ положении. Угол отклонения определяется по шкале 8. Подсчет числа N колебаний рамки осуществляет электронная система, основными деталями которой являются фотоэлектрический датчик 9, который соединен с цифровым счетчиком числа колебаний и секундомером 10.

Под действием сил упругости закрученной на угол φ проволоки рамка совершает крутильные колебания. Согласно закону Гука момент сил упругости, действующий на рамку

где ƒ – коэффициент крутильной жесткости проволоки, который называют модулем кручения.

Угловое ускорение рамки ε = d 2 φ / dt 2 определяется основным уравнением динамики вращательного движения:

Пренебрегая сопротивлением воздуха и учитывая (5.13), из этого уравнения следует дифференциальное уравнение колебаний рамки

где ω₀ – циклическая частота колебаний рамки.

Решение уравнения (5.15) имеет вид гармонических колебаний:

Из (5.16) следует, что период колебаний рамки определяется соотношением

Измеряя на эксперименте период колебаний T₁ рамки и период колебаний T₂ рамки с закрепленным на ней телом, получим систему двух уравнений

где I_1z – момент инерции рамки; I_z – момент инерции исследуемого тела.

Отсюда следует, что

Источник

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Источник

Момент инерции — формулировка, свойства и методы решения

Одним из фундаментальных свойств физических тел является момент инерции. Люди с ним сталкиваются в повседневной жизни при езде на велосипеде или автомобиле, запуске различных механизмов, игре с мячом, катании на карусели и т. д. Изучают характеристику на уроках физики и сопромата. Знание этого параметра важно и в механике, особенно при нахождении силы, которая может привести тело к вращению.

Основные понятия и суть

Инерция — это способность тела сохранять приданную ей скорость движения при отсутствии какого-либо внешнего воздействия. Например, во время езды на общественном транспорте всем приходится держаться за поручни. Если этого не сделать, то при изменении скорости движения транспортного средства существует большая вероятность упасть вперёд или назад. Другими словами, возникает какая-то сила, влияющая на пассажира. Когда её действие заканчивается, движение человека всё равно продолжается.

Это свойство и описывается понятием инертность. Раньше изучали это явление известные учёные Галилей, Ньютон, Мах. В соответствии с их исследованиями было установлено классическое правило момента вращения, физический смысл которого заключается в распределении массы в теле, определяемой суммой произведения простейшей массы на расстояние до начального множества в квадрате. Классическая формула, описывающая характеристику, выглядит следующим образом: Ja = Σmi*r 2 j. В ней:

То есть момент — это скалярная величина, являющаяся мерой инертности. В качестве единицы измерения по международной системе принято использовать произведение килограмма на квадратный метр (кг*м²). Обозначают параметр латинской буквой I или J. При умножении момента инерции на угловое ускорение можно определить сумму моментов всех сил, приложенных к телу: M = I * E. Фактически это уравнение является аналогом второго закона Ньютона.

М — это момент силы, оказывающий вращательное движение и воздействующий на ускорение тела, а E — угловое ускорение. Мера инертности тела отличается от массы тем, что вторая проявляется, когда его необходимо разогнать, а первая — при его раскручивании.

Вычисление параметра

Любое тело можно описать совокупностью материальных точек. Для понятия процесса лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть имеется невесомый цилиндр, способный вращаться по радиусу Rc. На него намотана верёвка, к которой приложена сила F. На цилиндр будут насаживаться тела с различной формой. Если известны его радиус и сила, с которой происходит раскручивание, то справедливо будет записать следующее выражение: M = F*Rc.

Допустим, на цилиндр помещены два тела. Одно имеет массу m1 и радиус вращения r1, а другое — m2 и r2. Используя основное уравнение динамики вращательного движения для первого тела с угловым ускорением ƹ1, момент силы можно определить как M1 = I1 * ƹ1. Соответственно, для второго предмета сила будет определяться по формуле: M1 = I2 * ƹ2.

Если эти два тела жёстко скрепить между собой, то они буду представлять собой составные части одного предмета, поэтому их угловые ускорения станут одинаковы (ƹ1 + ƹ2 = ƹ), а требующийся момент M станет равный сумме M1 + M2. Подставив значения, получим равенство M = I1*ƹ + I2*ƹ. Выражение можно упростить до вида M = ƹ (I1+I2). То есть нужный момент для тела, состоящего из совокупности точек, будет равен произведению суммы моментов инерции на угловое ускорение обоих тел.

Из сказанного можно сделать вывод, что момент инерции всего тела равен сумме моментов составных частей. Другим словами, он обладает свойством аддитивности. Используя это, можно составить алгоритм расчёта для любой формы.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000. Получается, если спицу будут закручивать с одинаковым моментом вокруг вертикальной оси и горизонтальной, то в первом случае она станет крутиться в 15 тыс. раз быстрее.

Моменты простейших объектов

Проведение интегрирования — довольно трудная операция, предполагающая хорошее знание высшей математики. Существует таблица, в которой собраны вычисления инерции для простейших геометрических фигур. При взятии сведений из неё важно обращать внимание на то, относительно какой оси приводится момент вращения объекта. Характеристика инерции для наиболее используемых объектов в физике имеет следующий вид:

При использовании этих формул необходимо учитывать, что единицей измерения момента инерции является кг* м², поэтому при расчёте величины следует приводить значения к этим единицам.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема была названа в честь двух математиков, давших формулировку определению характеристики параллельных осей. Например, пусть имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, можно вычислить момент тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры. В своём выводе учёные опирались на две формулы:

Обозначив центр произвольной оси буквой O, а один из множества кусков — Δm, можно воспользоваться универсальной формулой. Сначала необходимо определить квадрат расстояния до оси вращения ri. Для этого через центр проведём ось Oц, а расстояние между O и Oц обозначим как d.

Указанные значения нужно выразить через координаты кусочка. Для этого строится ось абсциссы, проходящая через Oц, и ординаты — O. При таком выборе направления начала координат x центр масс равняется d, а у — нулю. Фактически получится прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать: I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результате можно отметить, что момент в точке O будет прямо пропорционален расстоянию между Δ m и центром. Это и есть главный вектор на чертеже. Для его обозначения вводится длина r’.

Другими словами, теорема определяет, что характеристика инерции тела относительно любой оси находится как сумма моментов относительно параллельной оси, пересекающей центр масс, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Сопротивлением вращению пренебрегают.

Пример задачи

Допустим, есть монета с массой m и радиусом r. Вращение происходит вокруг оси, распложенной по касательной. Необходимо найти момент вращения.

Момент вращения относительно диска определяется с помощью выражения I1 = m* d 2 / 2. Для решения задачи она будет выглядеть Io = m* d 2 / 4. Подставив все данные, получим: I = (1m*d2 / 4) + (md)2 = 5*m*d2 /4.

Источник