Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Механическое движение
Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.
Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.
«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:
В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.
В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉
Прямолинейное равномерное движение
Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.
Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.
Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.
Скалярные величины (определяются только значением)
Векторные величины (определяются значением и направлением)
Проецирование векторов
Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.
Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.
Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.
Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.
Скорость
→ → V = S/t
→ V — скорость [м/с] → S — перемещение [м] t — время [с]
Средняя путевая скорость
V ср.путевая = S/t
V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с] S — путь [м] t — время [с]
Задача
Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Возьмем формулу средней путевой скорости V ср.путевая = S/t
Подставим значения: V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч
Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч
Уравнение движения
Основной задачей механики является определение положения тела в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).
Уравнение движения
x(t) = x0 + vxt
x(t) — искомая координата [м] x0 — начальная координата [м] vx — скорость тела в данный момент времени [м/с] t — момент времени [с]
Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v
Уравнение движения при движении против оси
x(t) — искомая координата [м] x0 — начальная координата [м] vx — скорость тела в данный момент времени [м/с] t — момент времени [с]
Графики
Изменение любой величины можно описать графически. Вместо того, чтобы писать множество значений, можно просто начертить график — это проще.
В видео ниже разбираемся, как строить графики кинематических величин и зачем они нужны.
Прямолинейное равноускоренное движение
Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.
Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.
СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».
Итак, прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.
Уравнение движения и формула конечной скорости
Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.
Уравнение движения для равноускоренного движения
x(t) = x0 + v0xt + axt^2/2
x(t) — искомая координата [м] x0 — начальная координата [м] v0x — начальная скорость тела в данный момент времени [м/с] t — время [с] ax — ускорение [м/с^2]
Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:
Формула конечной скорости
→ → v = v0 + at
→ v — конечная скорость тела [м/с] v0 — начальная скорость тела [м/с] t — время [с] → a — ускорение [м/с^2]
Задача
Найдите местоположение автобуса через 0,5 часа после начала движения, разогнавшегося до скорости 60 км/ч за 3 минуты.
Решение:
Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:
Так как автобус двигался с места, v0 = 0. Значит a = v/t
Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.
3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа
Подставим значения: a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч^2 Теперь возьмем уравнение движения. x(t) = x0 + v0xt + axt^2/2
Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:
Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.
Подставим циферки: x = 1200*0,5^2/2 = 1200*0,522= 150 км
Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.
Графики
Мы уже знаем, что такое графики функций и зачем они нужны. Для прямолинейного равноускоренного движения графики будут отличаться. Об этом — в видео ниже
Движение по вертикали
Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с^2, а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).
Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с2. В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с2.
Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.
Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.
Как посчитать путь ускоряющегося тела не используя время
Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.
Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).
Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.
Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.
Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.
Выводим формулу пути без времени
Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.
В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).
Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.
Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:
\( \large v_ <0>\left( \frac<\text<м>> \right)\) – начальная скорость тела;
\( \large v \left( \frac<\text<м>> \right)\) – конечная скорость;
\( \large a \left( \frac<\text<м>>> \right)\) – ускорение тела;
\( \large S \left( \text <м>\right)\) – путь, пройденный телом;
\(\large t \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло этот путь.
В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.
Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:
Выражаем время из формулы для скорости
Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:
\[ \large v = v_ <0>+ a \cdot t \]
Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом \( v_<0>\). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число \( v_<0>\). Получим такую запись:
\[ \large v — v_ <0>= a \cdot t \]
Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:
Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».
В формулу пути подставим выражение для времени
Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:
В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:
Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.
Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части
Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:
Умножим числитель дроби на число \(v_<0>\).
В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число \(v_<0>\):
Теперь необходимо умножить скобку на число \(v_<0>\). На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.
Нужно к каждой скорости в скобках дописать число \(v_<0>\), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:
То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:
Возводим в квадрат дробь
После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:
Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.
В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:
В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.
Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:
Теперь можем записать полученную дробь:
Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»
Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:
Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:
Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.
Итак, поменяем местами знаменатели дробей:
Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:
А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:
Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:
Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».
Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.
Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения
Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:
Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:
Сравним знаменатели дробей.
Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.
Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:
Примечания:
Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:
Получим такую дробь:
Поместим ее в выражение для пути:
Дроби с одинаковыми знаменателями складываем
Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:
Раскроем скобки в числителе полученного выражения:
Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член \(2v_ <0>v\), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа \(2v_<0>v\) вычитается такое же число \(2vv_<0>\). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:
Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:
Вычтем подобные члены, содержащие \( v^<2>_<0>\):
В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:
Примечания:
Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается
Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:
Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:
Выводы
Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:
Строго доказывается она путём двукратного интегрирования простого дифференциального уравнения x» = a = const при начальных условиях x(0) = x0, x'(0) = v(0).
Из простых соображений, доступных девятикласснику: сначала вводится понятие мгновенной скорости, т. е. скорости в данной точке траектории. Это скорость, которая практически не отличается от средней скорости на малом участке траектории. И вот тут школьник практически впервые сталкивается с понятием предела функции в точке: участок должен быть не просто малым, а средняя скорость должна стремиться к какой-то фиксированной величине, т. е. отличаться от неё как угодно мало при достаточном выборе участка траектории, либо временного промежутка. В последнем случае говорят о мгновенной скорости тела (материальной точки) в данный момент времени. В случае равноускоренного движения отношение изменения скорости (мгновенной) к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, есть величина постоянная, равная ускорению, а сам график скорости представляет собой прямую линию, проходящую через точку (0; v0), что означает, что скорость в начальный момент времени равна v0. Тогда на малом временном промежутке, где средняя скорость примерно равна мгновенной (любому значению скорости на этом промежутке) произведение этого значения скорости на длину соответствующего временного промежутка равна пути, пройденному телом за данный промежуток времени, а общий путь примерно равен сумме таких произведений на каждом малом временном промежутке, на которые разбивается общее время в пути. В случае когда длина таких временных промежутков стремится к нулю, примерное значение пути становится точным. С другой стороны тот же предел суммы произведений равен площади соответствующей фигуры под графиком скорости. Но данная фигура представляет собой прямоугольную трапецию (или в случае v0 = 0 прямоугольный треугольник), у которой левое основание равно v0, правое равно v0 + at, а высота равна t, поэтому площадь этой фигуры равна произведению полусуммы оснований на высоту, т. е. ((v0 + v0 + at)/2)*t = (2v0t + at^2)/2 = v0t + at^2/2. При условии, что начальная координата равна x0, приращение координаты равно найденному значению пути, а тогда конечная координата в результате равна x = x0 + v0t + at^2/2. Таким образом и получается формула зависимости координаты тела от времени при равноускоренном движении.
