Как искать скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные определения
Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.
Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.
Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.
Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.
Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.
Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.
Угол между векторами
Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=
2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.
3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.
Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:
Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:
Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:
Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.
То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by
А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz
Докажем это определение:
для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.
Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)
то последнее равенство можно переписать так:
а по первому определению скалярного произведения имеем
Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В плоской задаче скалярное произведение векторов a =
a * b = ax * bx + ay * by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В пространственной задаче скалярное произведение векторов a =
a * b = ax * bx + ay * by + az * bz
Формула скалярного произведения n-мерных векторов
Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения векторов:
a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.
Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)
По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.
Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.
Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.
Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,
Примеры вычислений скалярного произведения
Пример 1.
Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:
(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.
Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.
Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.
→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3
Пример 3.
Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем
Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем
Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Пример 4.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.
Пример 5.
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно
Обратите внимание на два существенных момента:
Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.
Пример 6.
По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:
Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.
Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).
Вычислим скалярное произведение:
Вычислим длины векторов:
Найдем косинус угла:
Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:
Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.
Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.
Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°
Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.
А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл
Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.
При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:
Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.
Вычисляется по формуле:
Сформулируем определение произведения для двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
для трехмерного пространства применимо выражение:
Фактически это является третьим определением скалярного произведения.
Следует отложить векторы
– соответственно для векторов трехмерного пространства.
Скалярное произведение и его свойства
Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.
Дистрибутивность справедлива для любых чисел:
Скалярное произведение с примерами и решениями
Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:
Рассмотрим некоторые примеры решения.
Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.
По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:
В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:
Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:
Подставив в формулу с использованием координат, получим:
Выносим коэффициент за знак произведения и получим:
По свойству коммутативности преобразуем:
Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:
Если имеется числовая проекция.
Подставив в формулу, получим выражение:
Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.
Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:
Физический смысл скалярного произведения
Механика рассматривает приложение скалярного произведения.
При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения: