Как измерить сумму углов треугольника

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Сумма углов треугольника. 5-й класс

Разделы: Математика

Класс: 5

Цель: Способствовать формированию у учащихся умения доказывать и доказать, что сумма углов треугольника равна 180º.

Оборудование: транспортир, угольник, плакаты с изображением различных видов углов, карточки с изображением треугольников, магниты.

Подготовил: учитель математики МОУ “Тат. Челнинская ООШ” Менделеевского муниципального района РТ Панкрашина Наталья Вячеславовна.

В начале урока учащиеся проговаривают слова:

“Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше чем разгадок,
И поискам предела нет!”

Учитель оглашает тему и цель урока: выяснить, чему равна сумма углов треугольника.

На магнитной доске многоугольники.

– Ребята, разбейте на группы многоугольники (Шестиугольники, четырехугольники, треугольники.)
– Наиболее известная вам фигура из четырехугольников какая? Назовите ее? (Квадрат.)
– Какая фигура называется квадратом? (Квадратом называется фигура прямоугольник, у которого все стороны равны.)
– По каким элементам можно дать еще определение квадрата? (По углам.)
– Чему равны углы в квадрате? (90º)
– Сформулируйте полное определение квадрата. (Квадрат, это фигура, у которой все стороны равны и углы равны по 90º.)
– Чему равна сумма углов квадрата? (360)
– Как из квадрата получить 2 треугольника? (Провести диагональ.)
– Свойства диагонали проведенной в квадрате? (Диагональ проведенная в квадрате делит угол пополам..)
– Какие треугольники получились? (Прямоугольные, равные.)

Δ A ВС = Δ АДС (по сторонам и углу В = углу Д = 90º)

– А чему равны углы в Δ АВС, Δ A ДС. Можно найти? (Вспомогательное свойство диагонали.)
– Найдите сумму углов получившихся Δ-ов. (180º).

Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180º.

– Ребята, а какие вам еще треугольники известны кроме прямоугольного? (Тупоугольный и остроугольный.)
– Дайте определение остроугольному треугольнику. (Треугольник у которого все углы острые, называется остроугольным.)
– Определение тупоугольного треугольника. (Треугольник у которого один угол тупой, называется тупоугольным.)
– А как вы думаете в остроугольном треугольнике (тупоугольном треугольнике) сумма углов равна 180 º?
– Хотите проверить?

У каждого учащегося на парте Δ.

(I вариант – остроугольные, II вариант – тупоугольные). Измеряют, убеждаются, что сумма углов равна 180º.

Вывод: В любом треугольнике сумма углов равна 180º.

1) Постройте в тетради произвольный треугольник. Измерьте углы.

Постройте угол АВС = 120º. На сторонах угла отметьте отрезки, на ВС – 3 см, АВ – 2 см. Измерьте угол С, угол А. (угол С = 25º, угол А = 35º)

2) Постройте отрезок АВ, от точки А отложите угол 50º, от точки В отложите угол 30º. Найдите угол С, измерьте. (угол С = 100 º)

1. В Δ АВС угол В = 70º, угол А в два раза меньше угла В. Найдите величину угла С. (Рис. 1)

1) 70:2 = 35º уголА
2) 180-(70+35) = 75º 180 – (90+54) = 36º – 20.01.2011

Источник

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Источник

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны ( как вертикальные).

Записываем в тетрадь:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

Изучите видео ролик ниже:

Видео YouTube

Практическая часть занятий:

Решение задач на отыскание величин треугольника по теореме о сумме углов треугольника и внешнем угле. Теоремы обязательно выучить и видео внимательно все разобрать:

Видео YouTube

Источник

Как измерить сумму углов треугольника

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же — 180°. «Как же это доказать? — подумал Паскаль. — Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников — их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

Источник