Как измеряется i если пренебречь мтр

Измерения

Представляет интерес экспериментально исследовать две зависимости.

Первая — зависимость углового ускорения ε от момента внешней силы М = mgr при условии, что момент инерции I остается постоянным.

Если на оси ординат откладывать угловое ускорение е, а на оси абсцисс — mgr, то, согласно (10), экспериментальные точки должны ложиться на прямую. Из (10) видно, что наклон этой прямой равен 1/I, а точка пересечения с осью абсцисс дает М_тр.

Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость ε от mgr, то можно приступить к изучению второй зависимости — зависимости момента инерции I от расстояния R грузов m_гр до оси вращения маятника (рис. 1).

Согласно теореме Гюйгенса—Штейнера:

Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (10), пренебрегая в нем малой величиной (моментом силы трения М_тр) по сравнению с моментом mgr. Из (10) имеем:

.

(11)

Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (11), а значит, и формулу

Отметим, что при выводе формулы (11) мы пренебрегли моментом сил трения, т.е. считали, что М_тр > М_тр заведомо выполнялось.

Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого заметим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой скоростью ω₀, то к моменту остановки он повернется на угол φ, определяемый из соотношения

(12)

где – начальная кинетическая энергия вращающегося маятника,

В (12) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым ускорением соотношением

где ε ₀ — ускорение, определяемое только моментом сил трения.

Из (12) и (13) находим

. (14)

Пусть n – полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а Т₀ – период вращения маятника в начале движения. Тогда

.

. (15)

Отсюда ясно, как на опыте определить ε₀: нужно измерить время Т₀ за которое совершается первый оборот и полное число n оборотов маятника до остановки. Во всех дальнейших измерениях нужно следить, чтобы выполнялось неравенство ε₀

Источник

Подготовка прибора к работе и проведение измерений. Цель работы: изучение законов поступательного и вращательного движения для определения моме

Описание установки

НА МАШИНЕ АТВУДА

ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК

Лабораторная работа М 2

Цель работы: изучение законов поступательного и вращательного движения для определения момента сил трения (М_тр).

Приборы и принадлежности:

– установка с машиной Атвуда;

– набор перегрузков кольцеобразной формы.

Рисунок 1 – Общий вид установки

Общий вид машины Атвуда показан на рисунке1. На вертикальной колонне (1) расположены три кронштейна: нижний кронштейн (2) неподвижен, а кронштейны (3) и (4) могут перемещаться вдоль колонки и фиксироваться в любом положении стопорными винтами. Расстояние между кронштейнами может быть найдено с помощью миллиметровой шкалы на колонке. В верхней части колонки находится блок (5), через который перекинута нить (6) с привязанными на её концах грузами (7) и (8) одинаковой массы, винты для горизонтирования установки (9). В экспериментальной установке имеется три перегрузка кольцеобразной формы различной массы, которые можно класть порознь, по два вместе и, наконец, все три вместе.

Установка работает следующим образом: устанавливаются необходимые расстояния между нижним и средним кронштейнами (S₂) и верхним и средним кронштейнами (S₁). Нажимается кнопка «СЕТЬ». При этом специальный электромагнит препятствует свободному вращению блока. На правый груз кладётся один или несколько перегрузков кольцеобразной формы, которые имеются в комплекте. Груз с прегрузком рукой устанавливается в положение, когда его нижняя грань совпадает с чертой на верхнем кронштейне. В этом положении груза нажимается кнопка «ПУСК». Когда правый груз с перегрузками достигает среднего кронштейна, перегрузки снимаются, и специальный фотоэлектрический датчик включает секундомер. Когда правый груз достигает нижнего кронштейна с другим фотодатчиком, то секундомер выключается. Для продолжения измерений нажимается кнопка «СБРОС», подготавливая секундомер для дальнейших измерений. Отжимается кнопка «ПУСК».

Последующие измерения начинаются с установки правого груза с перегрузком в исходное положение, описанное выше. Устраняются колебания грузов. Нажимается кнопка «ПУСК» и т. д. Возможно, при движении правого груза он задевает кольцо на среднем кронштейне, предназначенное для снятия перегрузков, и дальнейшее движение грузов сопровождается колебаниями. Возможно также, что правый груз не попадает в приемное окно нижнего кронштейна. Для проведения измерений эти эффекты нужно устранить!

Это достигается горизонтированием установки с помощью винтов (9)и небольшим поворотом в горизонтальной плоскости среднего кронштейна (3).

В дальнейшем изложении будем использовать следующие обозначения:

М_тр – момент силы трения; [M_тр] = Н×м;

m – массы грузов, висящих на нити, перекинутой через блок; [m] = кг;

∆m – масса перегрузка, который кладётся на правый груз; [∆m] = кг;

S₁ – расстояние между верхним и средним кронштейнами, т. е. путь, который проходит груз вместе с перегрузком; [S₁] = м;

S₂ – расстояние между средним и нижним кронштейнами, т. е. путь, который проходит груз без перегрузка; [S₂] = м;

t – время движения правого груза на этапе 2; [t] = сек;

а₁ – ускорение правого груза на этапе 1; [a₁] = м/с 2 ;

а₂ – ускорение правого груза на этапе 2; [a₂] = м/с 2

R – радиус блока; [R] = м.

Этап движения с перегрузком называется далее этапом 1, а этап движения без перегрузка – этапом 2.

Установка позволяет делать прямые измерения времени движения t правого груза на пути S₂ между средним и нижним кронштейнами при различных задаваемых значениях масс перегрузков ∆m, перемещения S₁ на этапе 1 и перемещения S₂ на этапе 2.

Задание для самостоятельной работы.

Определение момента силы трения М_ТР.

1. Выберете любое значение S₁ в интервале от 6 до 15 см. Установите минимальное возможное значение S₂ (S₂ ≥ 5 см).

2. Измерьте не менее трёх раз время движения правого груза на этапе 2, используя на этапе 1 перегрузок кольцеобразной формы ∆m. Найдите среднее время движения t.

3. Теория даёт следующую систему уравнений для поступательного движения грузов и вращательного движения блока на этапе 1 (см. Приложение):

(1)

(2)

(3)

4. Теория даёт следующую систему уравнений для поступательного движения грузов и вращательного движения блока на этапе 2 (см. Приложение):

(4)

(5)

(6)

5. Получитьследующее математическое выражение для пути (7), проходимого правым грузом (без перегрузка), используя для этого уравнения кинематики и результаты заданий 2, 3 и 4:

(7)

6. Из полученного выражения (7), подставив измеренное в задании 1 время t и все остальные известные параметры, найти момент силы трения М_ТР.

7. Рассчитать относительную погрешность определения момента силы трения.

Из-за сложности математического выражения для определения момента силы трения можно воспользоваться упрощённым вариантом расчёта погрешности М_тр. Для этого относительные погрешности прямым образом определяемых величин (m, t, S) принять равными: ; ; .

Рассчитать относительную погрешность определения момента силы трения как сумму относительных погрешностей прямым образом определяемых величин ( ).

Приложение. Законы динамики вращательного и поступательного движений.

Рассмотрим блок радиуса R с моментом инерции J, который может вращаться вокруг горизонтальной оси (рисунок 2).

Через блок перекинута невесомая, нерастяжимая нить, на концах которой висят грузы массой m каждый. Если на один из грузов (на рисунке – на правый) положить перегрузок достаточно большой массы ∆m, система придёт в движение (разумеется, при отсутствии сил трения перегрузок сколь угодно малой массы приводит систему в движение, но при наличии сил трения это не так). Найдём ускорения грузов, считая, что при движении нить по блоку не сколь­ зит. Будем считать, что диссипативные силы, за­висящие от скорости (например, силы сопротивления воздуха) отсутствуют. На левый груз действует сила тяжести и сила со стороны нити. На левый вертикальный участок нити действуют две силы: сила со сторо­ны левого груза, которая по III закону Ньютона равна силе по модулю и противоположна по направлению, и сила со стороны участка нити, находящегося на блоке. На рисунке слева отдельно показан левый участок нити и силы, на него действующие; напомним, что нить считается невесомой. Запишем второй закон Ньютона для левого участка нити:

, поскольку m_нити = 0

Тогда, . По третьему закону Ньютона сила , с которой левый вертикальный участок нити действует на участок, находящийся на блоке, равна

Фактически, сила оказывается приложенной к блоку, поскольку в отсутствие проскальзывания блок и участок нити, находящийся на нём, составляют единое целое.

Аналогичные рассуждения применимы и для правого вертикального участка нити. Для модулей сил, следовательно, имеем

и

Запишем систему уравнений, описывающих поступательное движение обоих грузов. Для этого выберем положительное направление осей Х₁ и Х₂ так, чтобы они совпадали с направлением движения тел (такой выбор осей называется согласованным).

Тогда для висящих грузов, которые движутся поступательно, второй закон Ньютона при движении тел на первом этапе (S₁):

(П-1)

(П-2)

Вследствие нерастяжимости нити модули перемещений грузов на обоих концах нити одинаковы. Одинаковы модули скоростей и ускорений грузов, но направления их, конечно, противоположны:

,

где а – модуль ускорения каждого груза.

При этом ускорения грузов на этапе I.

Рассмотрим теперь силы, которые действуют на блок. Помимо силы тяжести , сил и , о которых шла речь выше, на блок действует сила реакции оси , а также силы трения в оси блока. Детальный анализ сил трения очень сложен, поэтому ограничимся рассмотрением упрощённой модели, которая достаточно хорошо подтверждается опытом. Для вращения блока существенны не сами силы трения, а их моменты относительно оси вращения. Поскольку центр масс блока покоится, то . Переходя к модулям сил, получим:

.

Запишем для блока основное уравнение динамики вращательного движения

(П-3)

Если блок невесом, то J_бл. = 0 и

Если нить по блоку не скользит, то модуль скорости грузов равен модулю линейной скорости точек на окружности блока:

Дифференцируя это соотношение по времени, получим следующую связь модуля ускорений грузов а и углового ускорения ε:

Тогда (П-3) можно переписать в виде

(П-4)

Решая систему уравнений (П-1), (П-2), (П-4), получим выражение для модуля ускорений грузов при движении и на первом этапе

(П-5)

Если блок невесом: (П-6)

Если система некоторое время движется с ускорением а_Iх на этапе 1, а затем перегрузок снимается, то дальнейшее движение системы на этапе 2 будет происходить с ускорением а_IIх, выражение для которого вытекает из формулы (П-6) при ∆m = 0:

(П-7)

Если блок невесом: (П-8)

Знак «минус» показывает, что движение вследствие наличия сил трения будет замедленным.

Аналогичное выражение для ускорения а_IIx можно получить, если записать законы поступательного и вращательного движения на этапе 2 в отсутствие перегрузка и невесомости блока:

(П-9)

(П-10)

(П-11)

где

В работе правый груз проходит с перегрузком задаваемый экспериментатором путь S₁ (этап 1)_, а затем перегрузок снимается и измеряется время движения на пути S₂, который тоже задаётся экспериментатором (этап 2). Поскольку во всех случаях ускорения а_Iх и а_IIx – постоянные величины, справедливы все известные из школьного курса физики формулы кинематики.

В частности, поскольку движение с перегрузком начинается без начальной скорости, скорость правого груза в конце этапа 1 (она же является начальной скоростью на этапе 2) связана с путём S₁ соотношением:

(П-12)

Время движения t на этапе 2 связано с выражением для пути S₂ формулой:

(П-13)

Если массой блока можно пренебречь, то при подстановке формул (П-6), (П-8), (П-12) в (П-13) получим следующее выражение для определения момента сил трения:

(П-14)

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте основные законы динамики поступательного и вращательного движения.

2. Определите скорости грузов в конце заданного перемещения на основе закона сохранения механической энергии.

3. Определите массу блока, зная его радиус, S₁, S₂ и измеряя время движения на этапе 2. (Используйте теорию Приложения).

4. Определите момент инерции блока, измерив его радиус и положение отверстий на нём.

5. Напишите уравнение движения грузов, если в оси блока есть трение.

6. Допустим, что нить имеет массу. Напишите уравнение движения грузов для этого случая.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Анализ и обработка результатов измерений

1. Вычислите для каждого груза ускорение а, выразив его из формулы (1.10), запишите в табл. 1.2. Напоминаем, что точность расчётов должна соответствовать точности, с которой определены масса и время. В нашем случае это 3 значащие цифры.

2. В табл. П.1 (см. прил. 2) найдите уточнённое значение ускорения свободного падения g для Златоуста и запишите его в заголовок табл. 1.2. По формулам (1.9) и (1.8) с той же точностью вычислите угловое ускорение e и момент силы натяжения М_н для каждого груза, запишите в табл.1.2.

3. По вычисленным значениям М_н и e постройте два графика зависимости М_н(e) в одной системе координат.

4. По графикам, используя соответствие графика выражению (1.11), найдите два значения момента инерции маятника Обербека и два значения момента сил трения.

5. Сравните между собой полученные значения I₁ и I₂, сделайте вывод о влиянии расположения грузиков на величину момента инерции и на момент сил трения.

Задание 2. Проверка закона сохранения энергии

В соответствии с законом сохранения энергии полная механическая энергия замкнутой системы тел не изменяется, если внутри системы не действуют диссипативные силы. При наличии диссипативных сил полная механическая энергия системы уменьшается на величину работы, которую совершают эти силы (силы трения):

Здесь W₀ – полная энергия системы в начальный момент времени (при t = 0);

W – полная энергия системы в момент времени t > 0;

A_тр – величина работы, совершённой силами трения за время t.

В нашем случае система состоит из груза массой m и крестовины с моментом инерции I (если пренебречь массой нити). Начальная энергия системы равна потенциальной энергии груза, находящегося на высоте h:

При опускании груза потенциальная энергия уменьшается и переходит в кинетическую энергию системы

,

(1.14)

где u – скорость груза, w – угловая скорость маятника Обербека в момент времени t. Значения этих скоростей легко найти из кинематических уравнений равноускоренного движения.

Величина работы, которую совершает обобщённый момент сил трения

,

(1.15)

где j – угол поворота маятника Обербека за время движения груза. При равноускоренном вращении без начальной скорости

j = .

(1.16)

Полагая момент сил трения постоянным, получаем расчётную формулу для определения совершённой им работы:

Aтр = .

(1.17)

Примечание: угол поворота можно выразить также через высоту h и радиус R, и упростить расчёты.

Выполнение задания

1. Произвольно (или по указанию преподавателя) выберите значение массы, при которой Вы будете проверять закон сохранения энергии, и запишите это значение, высоту и ускорение свободного падения (с тремя значащими цифрами!) в заголовке табл. 1.3. Не забудьте указать единицы измерения!

2. По данным из табл. 1.2 вычислите скорости груза (u) и крестовины (w) при двух положениях грузиков.

3. Занесите в таблицу значения I и М_тр, полученные из графиков в Задании 1.

4. Вычислите и занесите в табл. 1.3 начальную W₀ и конечную W энергии системы, потери энергии DW и работу сил трения.

5. Сравните потери энергии с работой, совершённой моментом сил трения во время опускания груза.

6. Проанализируйте полученные результаты и запишите обобщающий вывод, основываясь на поставленных целях.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения: ускорения, момента инерции, момента силы, энергии, работы силы. Письменный ответ на этот вопрос необходимо включить в отчет.

2. Каковы цели лабораторной работы и что нужно сделать для их достижения?

3. Назовите составные части лабораторной установки и их назначение.

4. Какие величины измеряются в данной работе, а какие вычисляются?

5. Как вычисляется и от чего зависит момент инерции тела? Каков его физический смысл? В каких единицах выражается в СИ?

6. Как определяются направление и величина момента силы? Что называют плечом силы и как оно определяется?

7. Сформулируйте и запишите основной закон динамики для поступательного движения и для вращательного движения твёрдого тела.

8. Каково направление векторов и на рис. 1.1?

9. За счёт чего может меняться ускорение груза? Влияет ли изменение расположения грузиков на момент инерции крестовины и на силу натяжения нити?

10. Получите из уравнения (1.10) расчётную формулу для вычисления ускорения груза, если его начальная скорость равна нулю.

11. Изобразите график M_н = f (e) по уравнению (1.10). Покажите, как по этому графику найти момент инерции и момент силы трения M_тр.

12. По каким формулам можно вычислить скорость тела и угловую скорость маятника Обербека при равноускоренном движении?

13. Как вычисляются работа и кинетическая энергия при вращательном движении?

Источник