Как назвать фигуры в математике

Общая характеристика

Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.

Основные понятия о составляющих

Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.

Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.

Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).

Виды линий:

Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.

Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.

Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.

Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.

Стандартные объекты

К основным фигурам геометрии на плоскости относятся прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов (ПУ). Противоположные стороны равны между собой. В математике прямоугольник обозначается четырьмя латинским заглавными буквами. Все ПУ расположены под 90 градусов. Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.

Фигура, имеющая 3 стороны и столько же углов (вершин), называется треугольником. Существует классификация этой фигуры по типу У.

Виды треугольника в зависимости от угла (У):

Геометрическая фигура с углами разной формы называется многоугольником. Его вершины представлены точками, соединяющими отрезками.

Радиус круга — промежуток от середины окружности до любой ее точки. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через ее середину.

Параллелепипед — это призма, у которой основанием является параллелограмм. Когда все ребра параллелепипеда равны, получается куб.

Многогранная фигура, у которой одна грань является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Семиугольник (гептагон) — это многоугольник с 7 углами. Многоугольник представляет замкнутую ломанную линию.

Основные фигуры перечислены, но геометрия включает еще сложные объекты, использующиеся в различных областях жизни.

Сложные модели

В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.

Определение тела и пространства

Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).

Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.

В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).

Плоские фигуры представляют точка, круг, полукруг, окружность, овал, прямоугольник, квадрат, луч, ромб, трапеция.

Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Объемные фигуры:

Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.

Виды многогранников:

В школьной программе имеются специальные разделы геометрии, позволяющие распределить знания и не путать их в будущем. Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.

Познавательные игрушки детям

Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.

Основной материал для обучения детей:

Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода. Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.

Учить детей начинают с плоских фигурок, сделанных из цветной бумаги или фетра. Не нужно ограничивать ребенка в фантазии, ведь он различает фигуры по цветам и форме — треугольник, овал, круг, ромб, квадрат. Увлекательным будет занятие с использованием сортеров, пирамидок из различных геометрических объектов.

Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.

Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.

Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.

Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.

Источник

Основные геометрические фигуры

Основные понятия

Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.

Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.

Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.

Обучение на курсах по математике поможет быстрее разобраться в видах и свойствах геометрических фигур.

Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Периметром принято называть сумму длин всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.

Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.

Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.

Примеры объемных геометрических фигур:

Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.

Найти площадь квадрата легко:

Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Как найти площадь трапеции:

S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.

P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Общие формулы расчета площади фигур:

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Треугольник

Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.

Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.

P = 3 × a, где a — длина стороны.

Круг — это это часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Окружность — это граница круга.

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Формулы площади круга:

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Источник

Геометрические фигуры и их названия

При изучении элементарной геометрии необходимо точно определить, что именно мы будем изучать. Каждая наука ставит в центр внимания определенные объекты, или понятия, которые должны быть четко и однозначно определены. Это нужно, чтобы у оппонентов не возникало причин для оспаривания полученных в ходе эксперимента или теоретических разработок выводов.

Геометрии это касается в полной мере. Это одна из самых древних наук, возникшая из необходимости измерения площадей земельных участков, длины пути, расстояния между городами. Позже предметом прикладной геометрии стали архитектурные проекты, определение положения звезд и вычисление размеров земли. Но сугубо прикладных функций, полезных в повседневной жизни, она не утратила.

Геометрические фигуры

Первый вопрос, на который нужно ответить при изучении раздела, является ли точка геометрической фигурой? Ответ сформулировал еще Эвклид — точка, это простейшая фигура, элемент, из которого состоят все остальные фигуры. Линия, как ошибочно думают многие, не элементарная фигура, а совокупность точек.

Из точек состоят все простые и сложные геометрические построения. Это единственная фигура, размеры которой нельзя определить и указать, как нельзя и ничего определенного сказать о количестве точек в длинной или короткой линии, как нельзя определить с достаточно высокой точностью количество атомов в массивном бесформенном куске железа или камня.

Простейшие фигуры

Из точек можно создать любые линии, прямые, закругленные, зигзагообразные. Вариантов множество. Линия — вторая по простоте фигура после точки. Все линии подразделяются на несколько видов:

Прямая — бесконечная последовательность точек, определяющая кратчайшее расстояние между двумя произвольными точками. Крайние пункты могут быть расположены как на расстоянии в несколько миллиметров, так и на противоположных концах Вселенной. Но важно одно, прямая проходит через эти точки и стремиться дальше, ни начала, ни конца у нее нет.

Отрезок — частичный случай прямой. Это то же расстояние между двумя точками, но линия начинается на одной из них, и заканчивается на другой. Длина отрезка — величина вполне определенная измеряемая при помощи линейки, циркуля или рулетки, в зависимости от того, где находится данный отрезок.

Луч — часть прямой, лежащая по одну сторону от выбранной точки. Луч имеет начало, но не имеет конца. Как пример геометрического луча можно привести луч фонарика или лазерной указки. Началом является лампочка или светодиод, а дальше луч распространяется как угодно далеко.

Ломаная линия — совокупность отрезков, которые имеют по одной общей точке (начало следующего отрезка является концом предыдущего), но не лежат на одной прямой. Ломаная линия может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Если линия замкнута, то образует другой геометрический объект — плоскую фигуру.

Дуга — совокупность точек, которые находятся на одной линии, но не на одной прямой. Частичный случай — фрагмент окружности.

Как уже говорилось, замкнутые ломаные линии образуют плоские фигуры. Почему плоские, мы рассматриваем только линии, которые находятся в системе координат XY, то есть, всех их можно нарисовать на листе бумаги не прибегая к такой сложной технике, как перспектива.

Треугольник — самая простая и самая устойчивая плоская фигура. Образована тремя отрезками, соединенными последовательно. Чтобы построить треугольник, необходимо, чтобы сумма длин любых двух отрезков превышала длину третьего. В зависимости от длин отрезков и углов между ними, треугольники подразделяются на равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и произвольные (с тупыми и острыми углами).

Четырехугольники

Ромб — преобразованный квадрат. Длина всех сторон одинакова, но углы не прямые. Иногда квадрат называют прямоугольным ромбом.

Трапеция — фигура, у которой параллельны только две противоположные стороны, которые называют основанием. В зависимости от расположения двух оставшихся сторон, трапеция бывает прямоугольной и непрямоугольной.

Многоугольники

Назвать все виды фигур в геометрии очень сложно. Но необходимо назвать многоугольники — это категория фигур, у которых количество сторон более 4. Их так и называют — пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник. В научной литературе многоугольники получили название «полигон». Соответственно, пятиугольник — пентагон, восьмиугольник — октагон и т.д.

Круги и овалы

Это фигуры, которые состоят не из отрезков, а из последовательно расположенных точек, находящихся на определенном расстоянии от центра. У кругов это расстояние одинаковое, у овалов — разное.

Объемные фигуры

Если рассматривать геометрические построения в пространстве координат XYZ, то получаются объемные фигуры, или тела. Это куб, конус, цилиндр, шар и другие. Но их изучение — предмет другой темы.

Источник

Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы

В статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.

Плоские геометрические фигуры:

Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)

Квадрат

Прямоугольник

Параллелограмм

Трапеция

Треугольник

Окружность

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.

Четырёхугольник

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Основные свойства:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Квадрат

Квадрат — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a 2 или S=d 2 /2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2

где a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.

Свойства:

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные формулы:

Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S = d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a 2 +b 2 )/2 (теорема Пифагора)

где a, b — длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ – угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a 2 +b 2 ) – корень квадратный из (a 2 +b 2 ).

Свойства:

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Определения:

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением: (d₁) 2 +(d₂) 2 =(a 2 +b 2 )*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте: S = a*h
S (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
S (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними: S=(d₁*d₂)/2*sin γ

где a, b — длины сторон, d₁, d₂ –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Свойства:

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d₁*d₂)/2
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или r =(d₁*d₂)/4a
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a 2 · sin α

Свойства:

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Определения:

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2

Свойства:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Определения:

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь: по сторонам и углу между ними: S=(a*b)/2* sin γ
по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c 2 =a 2 +b 2 (Теорема Пифагора)

Свойства:

Окружность

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Определения:

Основные формулы:

Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r 2 или S = π*d 2 /4

где π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.

Источник