Как называется парадокс в математике

В мире математических парадоксов

Доброго времени суток, уважаемое хабрасообщество.

Сегодня я хотел бы затронуть такую увлекательную тему, как математические парадоксы. По данной теме на хабре уже было опубликовано несколько замечательных статей (1,2,3,4,5), но в математике интересные парадоксы этой выборкой далеко не исчерпываются.

Поэтому попробуем рассмотреть другие занимательные парадоксы (а некоторые и «не совсем» парадоксы), которые пока еще не получили здесь должного освещения.

Парадокс кучи и парадокс «Лысого»

Данные парадоксы известны еще с древности. Для начала сформулируем и рассмотрим парадокс кучи, связанного с неопределенностью понятия «куча»:

«если к одному зерну добавлять по зёрнышку, то в какой момент образуется куча?»
или обратная формулировка:
«удаляя из кучи в 1 млн зёрен по одному зёрнышку, с какого момента она перестаёт быть кучей?»

Формулировка парадокса основана на очевидной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зернышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. Из этих предпосылок следует, что никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Очевидно, что эти рассуждения приводят к неправильным выводам.

Однако до самого недавнего времени не было ясно, какие тогда рассуждения здесь использовать. Лишь с появлением теории нечетких множеств Лофти Заде и нечеткой логики стало ясно, что здесь уместны нечеткие расуждения, поскольку имеется в наличии классический объект нечеткой логики — неопределенное понятие «быть кучей». Данные объекты в нечеткой логике интерпретируются как имеющие неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким множеством.

Согласно таким рассуждениям заключение на каждом шаге остается прежним, но принадлежность его правильности уменьшается с каждым шагом. Когда эта принадлежность падает меньше 50%, то более правильным становится противоположное заключение.

Аналогичные рассуждения можно применить и к парадоксу «Лысого»:
«Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»

Парадокс лжеца

Если утверждение на картинке истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что оно — ложно; но если оно — ложно, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что утверждение на картинке — ложно, и, значит, это утверждение истинно.

Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно и истинно и ложно. В рамках формальной логики данное утверждение не доказуемо и неопровержимо, поэтому решения данного парадокса не существует, но существуют различные варианты его устранения.

Для этого можно применить рассуждения используемые в предыдущем разделе, для этого положим, что утверждение истинно на 0,5, тогда оно и ложно на 0,5, то есть не всякую фразу можно назвать целиком ложной или целиком истинной — «в чем-то высказывание на картинке лжет, а в чем-то — говорит правду»

К такому же выводу можно придти с помощью тройственной логики. В ней есть три степени истинности: «истина», «ложь» и «неопределенно». Под «неопределенно» понимается промежуточное по смыслу значение между истиной и ложью. К данной степени истинности и относят парадокс лжеца.

Как уже говорилось это не решения парадокса лжеца, а всего лишь объяснения, почему данный парадокс возникает в классической двузначной логике высказываний. Они свидетельствует, что строгое деление всех высказываний на истинные и ложные в данном случае неприменимо, поскольку ведет к парадоксу.

В настоящее всемя многие придерживаются такой точки зрения, что данное высказывание вообще не является логическим утверждением, и применять к нему классические методы формальной логики бессмысленно.

Парадокс Тесея

Данный парадокс можно сформулировать следующим образом:

«Если все составные части исходного объекта были заменены, остаётся ли объект тем же объектом?»

Было предложено несколько решений этого парадокса. Согласно философской школе Аристотеля существует несколько описывающих объект причин: форма, материал и суть вещи (которая, по учению Аристотеля, является самой важной характеристикой). Исходя из этого корабль остался тем же, так как его суть не поменялась, лишь изменился износившийся материал.

В следующем решении предложили дать аргументу «тот же» количественную и качественную характеристику. В таком случае, после смены досок корабль Тесея окажется количественно тем же, а качественно — уже другим кораблём.

В последнее время для решения парадокса Тесея предложили использовать 4-х мерную интерпретацию, в которой 3-х мерный корабль имеет также протяженность в 4 измерении-времени. Получившийся 4-х мерный корабль на протяжении временного ряда количественно идентичен с собой. Но отдельные «временные срезы» качественно могут отличаться друг от друга.

Парадокс Абилина

Данный парадокс заключается в том, что группа людей может принять решение, противоречащее возможному выбору любого из членов группы из-за того, что каждый индивидуум считает, что его цели противоречат целям группы, а потому не возражает.

Парадокс был описан Джерри Харви в статье The Abilene Paradox and other Meditations on Management. Имя парадоксу дано по мотивам следующего анекдота, описанного в этой статье:

В один жаркий техасский вечер некая семья играла в домино на крыльце до тех пор, пока тесть не предложил съездить в Абилин отобедать. Жена сказала: «Звучит неплохо». Муж, несмотря на то, что поездка обещала быть долгой и жаркой, подумал, что надо бы подстроиться под других, и произнёс: «По-моему, неплохо; надеюсь, что и твоя мама не откажется». Тёща же ответила: «Конечно, поехали! Я не была в Абилине уже давно».
Дорога была жаркой, пыльной и долгой. Когда же они наконец приехали в кафетерий, еда оказалась невкусной. Спустя четыре часа они, измученные, вернулись домой.

Один из них произнёс неискренне: «Верно, неплохая была поездка?». Тёща на это сказала, что, на самом деле, она бы лучше осталась бы дома, но поехала, раз уж остальные трое были полны энтузиазма. Муж сказал: «Я был бы рад никуда не ездить, поехал лишь чтобы доставить остальным удовольствие». Жена произнесла: «А я поехала, рассчитывая на радость остальных. Надо было быть сумасшедшим, чтобы добровольно отправиться в эту поездку». Тесть ответил, что он предложил это лишь потому, что ему показалось, что остальным скучно.

И они сидели, ошеломлённые тем, что поехали в поездку, которой никто из них не хотел. Каждый из них предпочёл бы спокойно наслаждаться тем днём.

Данный парадокс легко объясняется различными социологическими науками, подтверждающими, что человек редко совершает поступки, противоречащие поступкам его группы. Думаю многие не раз сталкивались с данном парадоксом и в своей жизни.

Парадокс Симпсона и феномен Уилла Роджерса

Замечу, что данные парадоксы являются «кажущимися», то есть они могут возникнуть на интуитивном уровне, но если провести вычисления, то легко убедиться, что никакого парадокса не возникает.

Для иллюстрации парадокса Симпсона рассмотрим пример, описанный известным популяризатором математики Мартином Гарднером.

Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень набора № 1 выше, чем из набора № 2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора № 3 больше, чем из набора № 4. Объединим набор № 1 с набором № 3 (получим набор I), а набор № 2 — с набором № 4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако, в общем случае такое утверждение неверно.

Пример, в котором выполняется парадокс Симпсона:

Теперь смешаем наборы №1 и №3 — из которых черные камни можно вытащить с большей вероятностью и наборы №2 и №4 — из которых черные камни можно вытащить с меньшей вероятностью.

Как мы видим из таблицы после смешивания вероятность вытащить черный камень из набора II стала выше чем из набора I.

Математически никакого парадокса тут нет, так как общая вероятность набора зависит от соотношения количества камней черного цвета и обоих цветов, в данном случае в 4 наборе было 9 черных камней, а в первом аж 7 белых, которые больше всего и повлияли на итоговый расклад.

Близок к парадоксу Симпсона и феномен Уилла Роджерса. По сути в них описывается одно и то же явление, но в других терминах.
Думаю многие не раз сталкивались с фразами подобные такой:
«Когда оки покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, то повысили средний интеллект обоих штатов»

Эту фразу приписывают Уиллу Роджерсу, в честь чего феномен и получил свое название.

С точки зрения математики никакого парадокса тут тоже нет. Чтобы в этом убедиться достаточно рассмотреть два множества: первое — <1, 2>, а второе — <90,100>, если число 90 из второго множества перенести в первое, то среднее арифметическое элементов как первого множества так и второго повысится.

Исчезновение клетки

Широкий класс задач на перестановку фигур, обладающих признаками софизмов: изначально в их условие введена замаскированная ошибка. В какой-то мере данные задачи ближе к оптическим иллюзиям, чем к математике.

Для примера расмотрим одну подобную задачу: дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.

Математически парадоксов и таинственного исчезновения площади тут нет. Визуально наблюдаемые треугольники, на самом деле таковымы не являются, гипотенузы в обоих псевдотреугольниках на самом деле являются ломаными линиями (в первом треугольнике она с изломом внутрь, а во втором — наружу). Если наложить треугольник друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «пропавшая» площадь.

Источник

Разгадка трех известных математических парадоксов

В прошлой статье я рассказал про три математических парадокса. Теперь же пришло время разобраться, как эти парадоксы разрешаются.

1. Парадокс маляра.

Кратко состоит в том, что бесконечный цилиндр можно окрасить конечным числом краски (почему конечным, читайте по ссылке в начале материала).

Так в чем же загвоздка? Ключевой момент: утверждая, что не можем покрасить плоскую фигуру (слева на рисунке), мы говорим о том, что мы хотели бы покрасить её слоем краски одной толщины.

Предлагаемый нами в прошлом материале способ окраски как раз исходит из предположения, что каждый следующий цилиндр будет окрашен всё меньшим слоем краски, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в π см2, будет сходиться к конечному значению.

Кроме того, мы не учитываем, что толщина слоя краски не может быть меньше размера молекулы. Если заливать краску в такой цилиндр, то рано или поздно, когда линейные размеры ступеньки будут меньше размера молекулы краски, краска попросту «не пролезет» ниже. Тогда погруженную в такой сосуд пластинку покрасить полностью не получится. Но это уже в мире физики, в мире математике возможно всё.

№2. Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона

Поразмышляем, за какую самую меньшую цену можно продать сатанинскую бутылку?

Во-первых, очевидно, что продать бутылку дешевле минимальной разменной монеты нельзя. Пусть минимальной монетой будет 1 цент. Получается, что купив её за 1 цент продать с убытком для себя ее будет невозможно.

Во-вторых, бутылку сложно продать и за 2 и за 3, и вообще за конечное число центов, ведь Ваш покупатель, осознавая последствия будет отказываться от такой сделки, рискуя не найти покупателя в дальнейшем.

В-третьих, если цена бутылки достаточно высока, вероятность продать ее есть. Впрочем, она уменьшается с каждой продажей и зависит от убытка с которой она была произведена.

В книге главный герой всеми силами пытается выбраться из «западни», но ответа на главный вопрос: «за какую минимальную цену можно продать бутылку» у него нет.

Таким образом, логически парадокс не разрешим.

3. Парадокс картофеля

Пусть имеется 100 кг картофеля, имеющего 99 процентов воды по массе. Картофель просушивают и получают 98% процентов воды. Какая теперь масса картофеля?

В первую очередь кажется, что масса картошки изменится совсем незначительно. Однако дальнейшие рассуждения показывают обратное.

Действительно, пусть в начале у нас 100 кг картошки, состоящих из 99 кг воды и 1 кг сухого остатка. Таким образом, соотношение вода/сухой остаток = 1/99. Теперь, если процент воды уменьшится до 98%, сухого вещества останется 2% от массы. Соотношение вода/сухой остаток = 1/49. Ключевой момент: масса сухого остатка как была равна 1 кг, так и остается. Таким образом в полученной смеси мы имеем 49 кг воды и 1 кг сухого остатка: в общей сложности 50 кг.

Источник

Математический парадокс: самые интересные и противоречивые

Математический парадокс: самые интересные и противоречивые: Pixabay

Математические парадоксы противоречат здравому смыслу и кажутся невероятными. Теоремы, которые основаны на логике, могут быть странными и сложными для понимания. Какие из математических парадоксов вызывают у общества самый живой интерес?

Парадокс выворачивания сферы

В чем суть парадокса выворачивания сферы? Она стоит в том, что чашка эквивалентна тороиду (поверхности вращения), которая внешне напоминает пончик. Это доказывает топология — раздел математики по изучению явления непрерывности, свойств пространства и типов деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний.

Примером объекта, который изучает топология, служит лента Мёбиуса. У ее поверхности только одна сторона и один край. Проще говоря, пончик можно вывернуть так, чтобы он превратился в чашку кофе, используя скручивание и растягивание. Для этого достаточно проделать следующие действия:

Топологи давно пытаются ответить на вопрос, можно ли вывернуть сферу. Это кажется невозможным, но есть видео, наглядно демонстрирующее, что это реально. Способ выворачивания сфер создал французский тополог Бернард Морин.

Парадокс ограниченности групп орнаментов

В чем суть математического парадокса ограниченности групп орнаментов? Если варианты рисунков на обоях кажутся людям неограниченными, то это заблуждение. В архитектуре и декоративном искусстве существует всего семнадцать групп орнаментов (групп плоской симметрии, плоских кристаллографических групп).

Говоря математическим языком, количество геометрических шаблонов конечно. Сгруппировать по этим шаблонам можно разные рисунки, это могут быть:

Группы орнаментов — это двумерные группы симметрии. Неважно, какого размера, цвета, стиля или ориентации рисунок, он все равно легко впишется в одну из семнадцати групп.

Группа плоской симметрии : Pixabay

Парадокс кучи

В чем суть математического парадокса кучи? Он состоит в том, что невозможно точно определить, в какой момент одно зернышко становится кучей или, наоборот, когда куча перестанет быть кучей, если удалять из нее по одному зерну.

Получается, что добавление по одному зернышку к совокупности не становится неоспоримой предпосылкой для образования кучи. Так в какой момент времени одно зернышко становится тем, что называют кучей?

Этот логический математический парадокс в IV веке до нашей эры впервые сформулировал древнегреческий философ Евбулид. Другое название парадокса кучи — парадокс сорита. На основании этого Евбулид сформулировал другие парадоксы. Среди них парадокс лысого, который в форме вопроса звучит так: «Если волосы на голове выпадают по одному, то с какого момента человек считается лысым?».

Парадокс Галилея

В чем суть математического парадокса Галилея? Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел. Пример: во множестве 1, 2, 3, 4 содержится столько же элементов, как и во множестве, которое было образовано при возведении цифр первого множества в квадрат: 1, 4, 9, 16.

Галилей описал парадокс в своей последней работе «Две науки», в которой привел суждения, которые противоречат друг другу:

Выходит, что точных квадратов вместе с обычными числами должно быть больше, чем самих точных квадратов. Галилей нашел противоречие своей же теории, описанной им ранее в «Науках». Его теорию доработал немецкий математик Георг Кантор, введя понятие «мощность множества».

Парадокс Галилея : Pexels

Парадокс спирали простых чисел

В чем суть математического парадокса спирали простых чисел? Американский и польский математик Станислав Улам на одном скучном докладе решил развлечь себя рисованием. Он расчертил лист бумаги вертикальными и горизонтальными линиями, решив набросать шахматный этюд. Но передумал и начал нумеровать клетки. Центральную обозначил единицей и стал писать цифры в порядке возрастания по спирали влево.

Вскоре он обнаружил закономерность: если записывать целые числа по спирали, простые числа (делятся на единицу и на себя), выстраиваются вдоль диагональных линий. При этом они лежат на одних диагоналях, но их практически нет на других. Интересно, что закономерность наблюдается вне зависимости от того, с какого числа начать писать цифровую спираль.

Парадокс скатерть Улама был назван в честь человека, который ее открыл. Вместе с единомышленниками Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом математик продолжал изучение спирали простых чисел. Позже появились другие вариации «скатерти Улама»:

Парадокс дней рождения (принцип Дирихле)

Принцип Дирихле впервые в 1939 году изучил австрийский математик и механик Рихард Мизес. Он был основан на принципе здравого смысла, который сформулировал немецкий математик Петер Густав Дирихле. На примере готовых математических расчетов парадокс дней рождения рассмотрел Джозеф Мазур в книге «Игра случая. Математика и мифология совпадения».

В чем суть математического парадокса дней рождения? Если взять произвольную группу из 23+ человек, то вероятность совпадения дат дня рождения у 2 членов группы превысит 50%. Когда число людей в группе станет более 60, вероятность совпадения достигнет 99%. В группе численностью более 367 человек у 2 человек обязательно будут дни рождения в один и тот же день.

Само утверждение может показаться неочевидным, но математические расчеты подтверждают его справедливость, и в этом состоит суть парадокса дней рождения.

Парадокс дней рождения (принцип Дирихле): Pixabay

Парадокс Тристрама Шенди

В чем суть математического парадокса Тристрама Шенди? Следуя логике главного героя незаконченного юмористического романа «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» Лоренса Стерна, можно сказать следующее: если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

В книге герой сетует на то, что для изложения первого дня жизни ему понадобился целый год, и столько же он потратил на описание второго дня. Он считает, что автобиографический материал будет накапливаться быстрее, чем он будет его обрабатывать и излагать на бумаге. Так его биография никогда не будет завершена.

Апеллируя к его аргументам, британский философ, логик, математик и общественный деятель Бертран Рассел вывел утверждение, что если бы он даже жил вечно и не устал от написания автобиографии, он смог бы дописать книгу своей жизни в полном объеме. Это подтверждает Н. Бурбаки (псевдоним группы французских математиков) в книге «Теория множеств».

Дихотомия Зенона, или парадокс математической модели движения

В чем суть математического парадокса теории движения? Для преодоления всего пути необходимо пройти его половину. Но чтобы преодолеть данную половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины. И так будет продолжаться до бесконечности. Вывод: движение невозможно.

Этот парадокс был назван дихотомией Зенона, в честь древнегреческого философа Зенона Элейского, известного своими апориями — парадоксальными утверждениями. Дихотомия Зенона легла в основу фантастического рассказа «О неутомимой лягушке» писателя Филипа Дика.

Парадокс математической модели движения: Pixabay

Парадокса маляра

В чем суть математического парадокса маляра? Фигура с бесконечной площадью поверхности может быть окрашена конечным количеством краски. Как объясняет А. А. Панов, утверждение строится на том факте, что вся фигура покрывается слоем краски неодинаковой толщины. В этом и состоит суть малярного парадокса.

Предполагается, что каждый последующий сегмент фигуры будет покрыт все более тонким слоем краски. Это возможно, если фигура будет образованна в результате вращения вокруг горизонтальной оси кривой функции y=1/х (рог или конус).

Используя расчеты площади и объема такой фигуры, можно прийти к выводу, что бесконечно длинный рог имеет конечный объем, и он равен 2π. Площадь поверхности такой фигуры будет бесконечной.

Математические парадоксы хороши тем, что заставляют задуматься. Они наглядно демонстрируют, что математика — интересная наука, которая применима к повседневности. Изучая интересные математические парадоксы можно расширить мировоззрение, найти ответы на вопросы и стать автором новых научных открытий.

Узнавайте обо всем первыми

Подпишитесь и узнавайте о свежих новостях Казахстана, фото, видео и других эксклюзивах.

Источник

Парадоксы в математике

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: «Финансы и кредит»

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «Математика»

Парадоксы в математике

Глава I. Парадоксы в математике

1.1 Свойство парадоксов

1.2 Устранение и объяснение парадоксов

Глава II. Многообразие парадоксов

2.2 Парадокс Греллинга

2.4 Парадоксы со множествами

Глава III. Проблемы парадоксов в математике

Введение

Глава I. Парадоксы в математике

Парадоксы были типичными способами постановки проблем в античном мышлении. Сначала парадоксы рассматривались только как продукт философских измышлений, теперь наука признала их полноправными членами сообщества научных проблем.

1.1 Свойство парадоксов

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее, в конце концов, к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

1.2 Устранение и объяснение парадоксов

Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются. Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.

Прежде всего, решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.

Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.

Однако надо иметь в виду, что непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.

Глава II. Многообразие парадоксов

2.1 Парадокс «Лжец»

Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс «Лжец», сформулированный греческим философом Эвбулидом из Милета в IV веке до н.э.

Имеются различные варианты этого парадокса. В простейшем варианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу», или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.

С развитием логики в нем стали видеть смешение двух языков: языка, на котором говорится о предметах, существующих в мире, и языка, служащего для описания самого такого «предметного» языка. В нашем обычном языке эти два уровня не различаются.

Было предложено другое объяснение, основанное на анализе одной весьма необычной особенности этого высказывания. Дело в том, что это высказывание одновременно является актом действия; причем как раз то, что в этом высказывании утверждается, в то же время становится и действием. Более того, высказывание и действие разорвать нельзя. Такие высказывания встречаются не так уж и редко. Например: «Я клянусь», «Я говорю», «Я лгу», и т.п. Высказывания такого рода называются перформативными и к ним как считают некоторые авторы, не применимы какие-либо оценки их истинности. Их истинность зависит от того, когда, кем и где они употребляются.

Выше было сказано, что парадокс «Лжец» возникает из-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними. Еще античные философы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определенную мысль, но не несет никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Более того, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иного высказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали они следующим образом. Пусть A₀ есть некоторое высказывание, например: «1 января шел снег», и пусть это событие действительно имело место. Но так как из содержания высказывания А₀ не следует, что оно истинно, то необходимо дополнительное высказывание A₁ : «Высказывание A₀ истинно». Нетрудно, однако, заметить, что истинность высказывания A1 тоже ниоткуда не следует. Поэтому необходимо новое высказывание А₂ : «Высказывание A₁ истинно» и т.д. до бесконечности.

Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка.

Ответить на этот вопрос удалось только в начале XX века. К этому времени было осознано, что каждая теория описывает какую-то свою, вполне определенную предметную область и пользуется при этом только такими языковыми средствами, которые для этого необходимы. Если, например, взять арифметику, то ее предметной областью является множество натуральных чисел, а необходимым для описания этой области языком является язык, на котором можно говорить об операциях и отношениях, заданных на множестве натуральных чисел. Как же обстоит дело с «истинностью» арифметических высказываний? Общепринятое определение истинности как соответствия реальному положению дел в данном случае оказывается недостаточно ясным. Во-первых, существуют такие высказывания, непосредственная проверка истинности которых невозможна или весьма затруднительна (это, например, гипотеза о невозможности существования четверок Ферма)

Во-вторых, формализованные теории вообще абстрагируются от практики и выводят свои теоремы из одних только аксиом. В третьих, выяснилось, что даже после уточнения понятия «истинности», множество истинных формул арифметики тем не менее оказывается неописуемым на предметном языке арифметики. Это значит, что понятие «истинности» не выразимо на языке арифметики. Значит, это понятие относится к другому языку.

С одной стороны, предложение «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно» относится к метаязыку, поскольку в нем говорится о ложности некоторого высказывания.

С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу.

2.2 Парадокс Греллинга

Предложение «Прилагательное р применимо к себе» символически запишется в форме Р (р), а предложение «Прилагательное р не применимо к себе» запишется в форме Р (р). Если относительно некоторого прилагательного р установлено Р (p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим. Обозначив свойство «быть гетерологическим» через G получим: «p (G (p)» (P (p)) (*).

Слово «гетерологический» само тоже является прилагательным. Обозначим это прилагательное буквой g. Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: (g)»G (g).

Это противоречие снимается, если учесть, что первоначально мы имели только прилагательные некоторого предметного языка, которые классифицировались на автологические и гетерологические; прилагательное же «гетерологический» появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку. Поэтому в условии (*) квантор общности имел смысл «для всех прилагательных предметного языка» и подстановка р=g была неправомерной.

2.3 Парадокс Берри

Этот парадокс исчезает, если различать предметный язык и метаязык. В самом деле, в рассматриваемой фразе речь идет о различных описаниях названного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, в этой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 букв предметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому может содержать и меньшее количество букв.

2.4 Парадоксы со множествами

Георг Кантор (1843-1918), создатель теории множеств, назвал этот мысленный акт «свертыванием». В результате возникает абстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и более абстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, более высокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показать следующим образом.

Приведенный пример показывает, что при восхождении к абстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокий иерархический уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести к возникновению противоречий и парадоксов. Покажем это на конкретном примере.

Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств к и обозначим его через U. Построим теперь множество E, единственным элементом которого является U. Значит, E=.

Таким образом, оказалось, что множество U, являясь совокупностью одноэлементных множеств, в то же время содержится в качестве элемента в одном из своих подмножеств. Но этого ведь быть не может, так как E и U различны.

Причина противоречия кроется опять в игнорировании иерархических различий. Множество U было множеством всех одноэлементных множеств некоторого исходного иерархического уровня, а множество E было сформировано позже; оно относится уже к другому, более высокому иерархическому уровню. Поэтому утверждение E элемент из U было неправомерным, так как на исходном иерархическом уровне множества Е не было.

Этот парадокс можно объяснить и неопределенностью смысла слова «все». Если слово «все» относится к элементам вполне определенного множества, то смысл этого термина достаточно ясен. А если множество задано недостаточно четко, если его границы расплывчаты, если допускается возможность обнаружения новых элементов, о существовании которых заранее ничего не известно, что тогда означает «все»? Очевидно, должен быть уточнен смысл термина «все», а это как раз и происходит, когда учитывается принадлежность предметов к тому или иному иерархическому уровню.

Кантор исходил из того, что каждое множество А должно обладать некоторой «мощностью». Под «мощностью» он понимал количественную характеристику множества.

Мощность множества А Кантор обозначил через , отмечая двумя черточками, что она получается в результате двойной абстракции: абстракции от природы элементов и абстракции от их порядка. Множество всех подмножеств данного множества А (называемое также булеаном множества А) обозначено через Р (А). Кантор доказал, что .

Рассмотрим теперь множество всех множеств, назовем его «универсумом» и обозначим через U. Из приведенной выше теоремы при А=U получим, что .

В кажущейся неразрешимости этого противоречия и заключается парадокс Кантора. На самом деле этот парадокс все же разрешим. Дело в том, что мы неявным образом предположили, что универсум U является таким же множеством, как и все остальные множества, и поэтому тоже обладает некоторой мощностью.

2.5 Парадоксы-петли

Выше было показано, что игнорирование иерархических различий приводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеют иногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению.

Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится к первоначальному иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца.

Парадокс Рассела (О парикмахере) был найден Бертраном Расселом (1872-1970). Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, что в этом поселке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается, что ни «да», ни «нет» ответить нельзя. Если парикмахер бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он не должен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относится ко всем жителям поселка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может.

Если он хороший, то он должен жить в той области, которой он управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только для плохих мэров, а он, по предположению, хороший.

Если же он плохой, то с одной стороны из определения понятия «плохой» следует, что он не должен жить в той области, которой он управляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как она специально создана для плохих мэров.

Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэр особой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самой этой области, ни вне ее. В чем же дело?

Причина парадокса в том, что иерархические уровни опять оказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаются на три категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр той особой области, в которой живут все плохие мэры.

Элементы определенного иерархического уровня либо обладают некоторым, естественным для них свойством, либо нет. Ничего другого быть не может. Третьего не дано. Поэтому, когда обнаруживается элемент, который не может обладать; этим свойством и в то же время не может не обладать им, а третьего не дано, то это противоречие кажется неразрешимым. Но это только кажущееся противоречие. Третье все же дано! Рассматриваемый элемент на самом деле относится к другой категории и обладает другими свойствами.

Следует заметить, что в каждом из рассмотренных парадоксов имеется неосознанное и к тому же неправомерное предположение. Именно оно и приводит к противоречию. Поэтому парадокс на самом деле следует рассматривать как доказательство ошибочности принятого предположения. Здесь, по существу, имеет место доказательство «от противного».

Глава III. Проблемы парадоксов в математике

Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 г. и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 г. Кантор не был способен в то время предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишком серьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.

Прошло около века с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков и математиков, поиски их решений активно продолжаются.

Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики и математики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ логики и математики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами математики и логики. Если сравнить парадоксы с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.

Заключение

Парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.

Решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями.

Проблемы, связанные с парадоксами, относятся к разным типам и затрагивают все основные разделы логики и математики. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее представления о логических закономерностях мышления.

Библиография

Источник