Как называется плоскость проекций x0y

Статьи о радиотехнике, технологиях, чертежах, 3D-моделировании

Публикации для людей, интересующихся наукой и техникой

ПЛОСКОСТЬ – является простейшей поверхностью, которую можно представить, например, как веер линий, полученных при движении прямой, закрепленный в некоторой (.), по другой прямой

В отличие от линии, плоскость не может быть задана на чертеже своими проекциями. Плоскость в пространстве безгранична, бесконечна, а потому проекции её (.) займут всё поле чертежа. Положение плоскости в пространстве определяется положением задающихся ее элементов, входящих в определитель плоскости, т.е. плоскость задается проекциями геометрических объектов, располагающихся на ее поверхности. Графически плоскость может быть задана одним из шести способов:

От любого из этих способов можно легко перейти к любому другому.

СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ (сп) – пл, по которой данная плоскость пересекается с горизонтальной, фронтальной или профильной пп. В зависимости от того, какую пп данная плоскость пересекает, различают: фронтальный, горизонтальный и профильный следы плоскости. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие – разноименные проекции – оказываются лежащими на осях координат. Проекции следов, совпадающие с осями координат, обозначать не принято. Любые два следа плоскости, как две пересекающиеся прямые, вполне определяют положение плоскости в пространстве. Третий след плоскости всегда можно построить по двум данным. След плоскости как линия в системе пп является линией нулевого уровня, т.к. принадлежит поверхности какой-либо плоскости проекций.

ТОЧКИ СХОДА СЛЕДОВ (тсс) – точки пересечения следов заданной плоскости с координатными осями X, Y и Z. Обозначаются, например, для плоскости α соответственно αx, αy, αz.

ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ (поп) – это плоскость, занимающая произвольное положение относительно плоскостей проекций, т.е. она не ⟂ и не ∥ ни одной основной плоскости проекций. Ни одна из ортогональных проекций геометрических объектов, задающих плоскость общего положения, не сливается в пл. Метрические характеристики такой плоскости на чертеже искажаются и не могут быть определены непосредственно с чертежа плоскости. Различают: восходящие и нисходящие плоскости общего положения.

ВОСХОДЯЩАЯ ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ (впоп) – плоскость произвольного положения, которая, удаляясь от наблюдателя, идет вверх (на подъем). Метрические характеристики данной плоскости на чертеже напрямую не определяются. Угол наклона такой плоскости можно получить с использованием линии ската.

НИСХОДЯЩАЯ ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ (нпоп) – плоскость произвольного положения, которая, удаляясь от наблюдателя, идет вниз (на спуск). Метрические характеристики данной плоскости на чертеже напрямую не определяются. Угол наклона такой плоскости можно получить с использованием линии ската.

ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ (пчп) – это плоскости, ⟂ либо ∥ пп. Различают: проецирующие плоскости и плоскости уровня. На ортогональном чертеже любой плоскости частного положения хотя бы одна проекция всегда вырождается в пл.

ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (пп) – это плоскость, ⟂ к одной из пп и при этом не ⟂ и не ∥ двум другим. В зависимости от того к какой плоскости проекций ⟂ проецирующая плоскость, различают: горизонтально проецирующую, фронтально проецирующую и профильно проецирующую плоскости.

ГОРИЗОНТАЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (гпп) – плоскость, ⟂ горизонтальной плоскости проекций П₁ и при этом не ⟂ и не ∥ фронтальной П₂ и профильной П₃ плоскостям проекций. Гпп представляет собой прямую линию, которая одновременно является гcп. Любой геометрический объект, расположенный в этой плоскости, проецируется на горизонтальной плоскости проекций П₁ в эту прямую. Угол, который составляет гсп с координатной осью Х, равен углу наклона этой плоскости к фронтальной плоскости проекций П₂, а с координатной осью Y– к профильной плоскости проекций П₃. Фронтальный след гпп ⟂ оси координат X.

ФРОНТАЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (фпп) – плоскость, ⟂ фронтальной плоскости проекций П₂ и при этом не ⟂ и не ∥ горизонтальной П₁ и профильной П₃ плоскостям проекций. Фпп представляет собой прямую линию, которая одновременно является фсп. Любой геометрической объект, лежащий в этой плоскости, на чертеже совмещен с ее фронтальным следом. Угол, который составляет фсп с координатной осью Х, равен наклону данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций П₁, а с координатной осью Z – к профильной плоскости проекций П₃. Горизонтальный след фронтально проецирующей плоскости перпендикулярен оси координат Х.

ПРОФИЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (ппп) – плоскость, ⟂ профильной плоскости проекций П₃ и при этом не ⟂ и не ∥ горизонтальной П₁ и фронтальной П₂ плоскостям проекций. Ппп представляет собой прямую линию, которая одновременно является профильным следом плоскости. Любой геометрический объект, лежащий в этой плоскости, на чертеже совмещен с ее профильным следом. Угол, который составляет псп с координатной осью Y, равен наклону данной плоскости к горизонтальной плоскости проекций П₁, а с координатной осью Z – к фронтальной плоскости проекций П₂. Горизонтальный след такой плоскости перпендикулярен оси Y. В зависимости от удаления от наблюдателя различают: восходящую профильно проецирующую и нисходящую ппп.

ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ (пу) – это плоскость ∥ одной из плоскостей проекций, а значит ⟂ одновременно к двум другим плоскостям проекций. В зависимости от того какой плоскости проекций параллельна данная плоскость, различают: горизонтальную, фронтальную и профильную плоскости уровня. Любой геометрический объект, расположенный в плоскости уровня, в зависимости от параллельности проецирует на одну из плоскостей проекций в натуральную величину.

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ (гпу) – плоскость, ∥ гпп П₁ и при этом ⟂ фронтальной П₂ и профильной П₃ плоскостям проекций. Фронтальная и профильная проекции такой плоскости – прямые линии, совпадающие с одноименными следами этой плоскости, и ∥ осям координат X и Y соответственно. Любой геометрический объект, расположенный в гпу, проецируется без искажения на гпп П₁.

ФРОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ (фпу) – плоскость, ∥ фронтальной плоскости проекций П₂ и при этом ⟂ горизонтальной П₁ и профильной П₃ плоскостям проекций. Горизонтальная и профильная проекции такой плоскости – прямые линии, совпадающие с одноименными следами этой плоскости и ∥ осям координат Х и Z соответственно. Любой геометрический объект, расположенный во фпу, проецируется без искажения на фронтальную плоскость проекций П₂.

ПРОФИЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ УРОВНЯ (ппу) – плоскость, ∥ профильной плоскости проекций П₃ и при этом ⟂ горизонтальной П₁ и фронтальной П₂ плоскостям проекций. Горизонтальная и фронтальная проекции такой плоскости – прямые линии, совпадающие с одноименными следами этой плоскости и ∥ осям координат Y и Z соответственно. Любой геометрический объект, расположенный в ппу, проецируется без искажения на ппп П₃.

ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ (глп) – это пл, расположенные в данной плоскости, выделяемые среди множества других линий, как занимающие особое положение. Это линии уровня плоскости: горизонталь h, фронталь f и ппп p, а также линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П₁, П₂ и П₃.

ГОРИЗОНТАЛЬ ПЛОСКОСТИ (гп) – пл, принадлежащая этой плоскости и ∥ гпп П₁, т.е. это горизонтальная прямая линия уровня, лежащая на поверхности какой-либо плоскости. Фронтальная и профильная проекции горизонтали плоскости ∥ осям координат X и Y соответственно Все горизонтали плоскости ∥ друг другу и горизонтальному следу своей плоскости. Обозначается на чертеже буквой – h.

ФРОНТАЛЬ ПЛОСКОСТИ (фп) – пл, принадлежащая этой плоскости и ∥ фпп П₂, т.е. это фронтальная прямая линия уровня, лежащая на поверхности какой-либо плоскости. Горизонтальная и профильная проекции фронтали плоскости ∥ осям координат X и Z соответственно. Все фронтали плоскости параллельны друг другу и фронтальному следу своей плоскости. Обозначается на чертеже буквой – f.

ПРОФИЛЬНАЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ ПЛОСКОСТИ (пплп) – пл, принадлежащая этой плоскости и параллельная профильной плоскости проекций П₃, т.е. это профильная прямая линия уровня, лежащая на поверхности какой-либо плоскости. Фронтальная и горизонтальная проекции профильной прямой плоскости параллельны осям координат Z и Y соответственно. Все профильные прямые линии плоскости параллельны друг другу и профильному следу своей плоскости. Обозначается на чертеже буквой – p.

ЛИНИИ НУЛЕВОГО УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ (лнуп) – это пл, принадлежащие одновременно данной плоскости и какой-либо плоскости проекций, т.е. являются одновременно и главными линиями плоскости, и следами этой плоскости. Горизонтальный след плоскости – это горизонталь плоскости нулевого уровня, фронтальный след плоскости – фронталь плоскости нулевого уровня и профильный след плоскости – профильная прямая плоскости нулевого уровня. Обозначаются на чертеже – h_оά, f_оά, ρ_оά соответственно.

ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ (лннп) к плоскостям проекций П₁, П₂ и П₃ – пл, лежащие в ней и ⟂ или к горизонталям плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым.

ЛИНИЯ СКАТА ПЛОСКОСТИ (лсп) – линия наибольшего наклона плоскости к гпп П₁, т.е. пл, проведенная по поверхности плоскости ⟂ любой горизонтали этой плоскости. Согласно теореме о проекции прямого угла, прямой угол между горизонталью плоскости и линией ската плоскости проецируется на гпп П₁ без искажения. Лсп и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный, составленный данной плоскостью и пп П₁.

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ К ФРОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ П₂ (лннпкфпп) – пл, проведенная по поверхности какой-либо плоскости ⟂ любой фронтали этой плоскости. Согласно теореме о проекции прямого угла, прямой угол между лннпкфпп П₂ и фронталью этой плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций П₂ без искажения.

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ К ПРОФИЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ П₃ (лннпкппп) – пл, проведенная по поверхности плоскости перпендикулярно профильной прямой линии уровня этой плоскости. Согласно теореме о проекции прямого угла, прямой угол между лннпкппп П₃ и профильной прямой линией этой плоскости проецируется на профильную плоскость проекций П₃ без искажения.

Если у вас остались вопросы или предложения по данной статье, направляйте ваш материал к нам на контакты.

Источник

Система координат и плоскости проекций, применяемые в инженерной графике

В инженерной деятельности при изучении свойств геометрических объектов мы работаем с проекциями этих объектов на плоскости. Проекцией объекта на плоскость представляет собой совокупность проекций всех его точек. Проекцией точки на плоскость называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через заданную точку в пространстве и плоскости проекций. Для построения проекций используется параллельное ортогональное проецирование, которое осуществляется с помощью параллельных проецирующих лучей перпендикулярных плоскости проекций. В качестве плоскостей проекций используется три взаимно перпендикулярных плоскости (рис. 1): П₁ – горизонтальная плоскость проекций; П₂ – фронтальная плоскость проекций; П₃ – профильная плоскость проекций. Эти плоскости взаимно пересекаются по линиям – осям: X – линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей; Y – линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей; Z – линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей. В свою очередь оси пересекаются в одной точке 0 – начало координат.

Взаимно перпендикулярные оси представляют прямоугольную систему координат, отличающуюся от декартовой системы координат, применяемой в математике, направлением осей.

Построим ортогональные проекции точки А, расположенной в первом октанте евклидова пространства. Для этого из точки А проведем проецирующие лучи – перпендикуляры к плоскостям проекций. Точки пересечения лучей с плоскостями – проекции точки А: горизонтальная проекция – А₁, фронтальная проекция А₂, профильная проекция А₃ (рис. 2).

Рисунок 1. Система трех плоскостей проекций

Рисунок 2. Ортогональные проекции точки

а) пространственная модель		б) чертеж (эпюр)
	Рисунок 3. Преобразование пространственной модели трех плоскостей проекций в чертеж

В процессе оформления чертежа чаще всего положение изображаемого объекта в пространстве, не играет ни какого значения, поэтому при оформлении конструкторской документации система координат не используется, чертежи не имеют осей.

Правила построения проекций (видов) регламентируется ГОСТ 2.305-68 «Изображения – виды, разрезы, сечения» ЕСКД (Единой системы конструкторской документации). Согласно которому, и зображения предметов на чертеже должны выполняться по методу прямоугольного проецирования. При этом предмет предполагается расположенным между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций (рис.4.а).

Рисунок 4. Построение основных видов детали

За основные плоскости проекций принимают шесть граней куба; грани совмещают с плоскостью, как показано на рис.4.б. Грань 6 допускается располагать рядом с гранью 4. Изображение на фронтальной плоскости проекций принимается на чертеже в качестве главного. Предмет располагают относительно фронтальной плоскости проекций так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.

Источник

Как называется плоскость проекций x0y

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р_н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_v.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_x, Р_y и Р_z.

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р_н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P_v и Р_н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три

следа P_v, Р_н и P_w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р_v плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р_v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р_н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р_х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки P_x с v’, находим фронтальный след P_v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n» находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Х_v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P_w и K_w.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P_v, Р_н и Q_v,Q_h, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_v и Q_v — точку v’ и следов Q_н и P_H — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Р_у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р_н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f’a’. Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m’ и n’, m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

Источник