Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
Мы уже научились складывать числа с разными знаками, а теперь нам предстоит узнать, как происходит нахождение разности между числами с разными знаками и какой дополнительный смысл это несет.
Не забудем и проанализировать, какими могут получится результаты вычитания.
Вычитание из положительного числа
До этого мы всегда вычитали из положительного числа другое положительное число, причем меньшее или равное ему.
Сейчас рассмотрим еще два случая:
Правило: чтобы вычесть из положительного числа другое положительное число, которое больше его, необходимо из вычитаемого вычесть уменьшаемое и к результату приписать знак «минус».
Пример:
Вычтем из 6-ти 8
В данном случае вычитаемое больше уменьшаемого, значит, вычитаем из него уменьшаемое:
И приписываем к результату «минус», получаем:
Как видите, ничего сложного. В жизни такие действия встречаются также достаточно часто.
Например, 19 декабря температура равнялась 4-м градусам выше нуля, но за сутки опустилась на 9 градусов. Чему равняется температура 20-го декабря?
В данном случае нам надо вычесть из 4-х 9.
Вычитаемое больше уменьшаемого, значит, будем действовать по описанному выше алгоритму.
Вычитаем из 9-ти 4, получаем 5.
Теперь приписываем «—», получаем, что \(\mathbf<4-9=-5>\)
Значит, 20-го декабря температура равнялась \(\mathbf<-5>\)-ти градусам.
Пример:
У Василия было на счету 15 тысяч рублей, и он потратил на новый телефон 20 тысяч. Чтобы посчитать, сколько денег у него останется на счету, мы должны вычесть из первого числа второе.
Опять же, вычитаемое больше уменьшаемого, значит, мы должны из вычитаемого вычесть уменьшаемое, а затем приписать «-».
Ответ: -5 тысяч рублей будет у Василия на счету.
Теперь будем вычитать из положительных чисел отрицательные числа.
Правило: чтобы вычесть из положительного числа отрицательное, необходимо сложить их модули.
Пример:
Вычтем из 11-и -3
Складываем их модули и получаем:
Как видите, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного числа, обратного этому отрицательному.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Вычитание из отрицательного числа
Начнем с вычитания из отрицательного числа положительного числа. Мы делали это ранее с помощью координатной прямой. А сейчас научимся это делать, не используя ее.
Правило: чтобы вычесть из отрицательного числа положительное число, надо
Пример:
Вычтем из \(\mathbf<-3>\) \(\mathbf<4>\)
2) Складываем найденные модули:
3) Приписываем минус, полученное число и будет ответом:
Процесс взятия модуля достаточно несложный, поэтому зачастую решение можно не расписывать по действиям.
Процесс нахождения разности двух отрицательных чисел также не сложен и в целом сводится к сложению чисел с разными знаками.
Поэтому тут могут быть разные подходы:
Вычтем из \(\mathbf<-5>\) \(\mathbf<-2>\)
Можно применить свойство, указанное выше, и смотреть на это, как на сложение чисел с разными знаками.
В таком случае, как мы помним, нужно взять модули слагаемых, из большего вычесть меньший и к результату приписать знак слагаемого с наибольшим модулем.
В нашем случае модуль больше у \(\mathbf<-5>\), так что \(\mathbf<-5+2=-3>\)
Посмотрим еще на такое свойство:
Если мы хотим прибавить отрицательное число, то достаточно вычесть положительное число с тем же модулем, что и у отрицательного числа.
Выше мы получили сумму отрицательного числа и положительного.
Перейдем к вычитанию из одного положительного числа другого положительного.
Посмотрим на том же примере, снова вычитая из \(\mathbf<-5>\) \(\mathbf<-2>\).
Первое равенство (\(\mathbf<-5-(-2)=-5+2>\)) происходит, так как вычитание отрицательного числа можно превратить в прибавление положительного.
При переходе через второе равенство (\(\mathbf<-5+2=2+(-5)>\)) мы просто меняем местами слагаемые.
В третьем равенстве (\(\mathbf<2+(-5)=2-5>\)) мы пользуемся только что введенным свойством.
Нужно отметить, что теперь мы умеем превращать вычитание в прибавление (вычитание это прибавление числа с противоположным знаком того же модуля). И тогда при желании можно вообще не говорить отдельно про вычитание, сводя его к сложению.
Примеры:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Аналитика результатов вычисления разности
Рассмотрим геометрический смысл разности: она показывает, как соотносятся точки на координатной прямой.
Пример:
Пусть будет точка А с координатой -2 и точка В с координатой 3
Разность равна \(\mathbf<-2-3=-5>\)
Значит расстояние между точками равно 5-ти (модулю разности).
А знак «минус» говорит о том, что точка А лежит ближе по направлению, чем точка В (в данном случае левее).
1) Если разность координат двух точек больше нуля, значит, первая точка лежит дальше по направлению, чем вторая точка.
2) Если разность координат двух точек равна нулю, то точки совпадают
3) Если разность координат двух точек меньше нуля, значит, первая точка лежит ближе по направлению, чем вторая точка.
Если вернемся к картинке и посчитаем разность между координатами точек В и А, именно в таком порядке, то заметим, что она равна 5-ти, что подтверждает то, что точка В лежит дальше по направлению, чем точка А.
Если же посчитаем разность координат точки В, то есть вычтем из 3-х 3, мы получим 0, что подтверждает то, что это одна точка.
Иногда, еще до того, как мы начнем считать разность двух чисел, нам может захотеться знать знак результата.
Сформулируем общее правило:
1) Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность будет положительной
2) Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность будет равна нулю
3) Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность будет отрицательной
Посмотрим на примерах и убедимся, что это действительно так.
Пример, когда уменьшаемое больше вычитаемого.
Случай, когда оба числа больше нуля тривиален. Вы с ним хорошо знакомы, поэтому интересней поговорить про случай, когда оба числа отрицательны.
Например, вычтем из \(\mathbf<-11>\)-ти \(\mathbf<-15>\)
В данном случае уменьшаемое больше вычитаемого (так как они оба отрицательные и модуль уменьшаемого меньше).
Используя правила, получаем:
Получилось положительное число, как мы и ожидали.
Это происходит из-за природы вычитания: разность показывает сколько надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.
В самом деле, если мы прибавим к \(\mathbf<-15>\)-ти 4, то мы получим \(\mathbf<-11>\)
Именно поэтому, если уменьшаемое больше вычитаемого, чтобы из вычитаемого получить уменьшаемое, нужно будет прибавлять положительное число, а значит, и разность будет положительной.
Пример, когда уменьшаемое равно вычитаемому.
Здесь все также вполне тривиально: числа и так не различаются, значит, разность будет равна нулю.
Аналогия с координатной прямой здесь также говорит о том, что разность будет равняться нулю, ведь ненулевого отрезка между точками не будет.
Пример, когда уменьшаемое меньше вычитаемого.
Вычтем из 5-ти 15, получаем -10, число отрицательное, как и должно было получиться.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
В этом и предыдущих уроках мы нередко обращались к аналогии с градусником или ртутным термометром.
Оказывается, этот прибор слабо менялся с начала XVIII века, а первые приборы для измерения температуры появились еще раньше.
А проблемы были. Если использовали воду, то она замерзала и могла разбить трубку. Так ученые пришли к необходимости использовать винный спирт или другие спиртосодержащие жидкости, которые не замерзают при таких незначительных температурах.
В результате экспериментов с конструкциями появилась запаянная с одного конца трубка, наполненная ртутью. Теперь низкая температура не разрушала устройство, а давление не изменяло показатели.
Первую единую шкалу придумал немецкий физик Габриэль Фаренгейт в 1723 году.
Точку нуля он выставил как температуру состава снега и нашатыря или поваренной соли.
Точку в 32 градуса он выставил, как «начинающееся замерзание воды».
Есть в этой шкале и что-то человеческое: 96 градусов по Фаренгейту (96ºF) соответствуют температуре здорового человека.
Эту систему до сих пор используют в США, поэтому не стоит сильно удивляться непривычным цифрам, которые иногда можно услышать в сериалах и фильмах.
Почти привычную нам систему придумал шведский ученый Цельсий в 1742 году.
Позже ее «перевернули» и теперь мы знаем, что лед плавится при 0 градусах Цельсия (ºC), а вода кипит при 100ºC.
Сегодня обычные термометры постепенно отходят в прошлое, уступая свое место приложениям в телефоне, а опасные ртутные градусники заменяют более удобными и безопасными электронными, но в свое время это изобретение позволило сильно продвинуть науку вперед и улучшить жизнь людей.
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Мы можем не только собирать в группы различные предметы, то есть, складывать их, но и забирать из существующей группы определенное их количество.
Разность (или остаток) – это такое число, которое получится, если от одного числа отнять другое, то есть, от всех единиц одного числа отнять все единицы, которые содержатся в другом числе.
Уменьшаемое – это то число, от которого мы отнимаем единицы другого числа.
Вычитаемое – это число, которое мы вычитаем из другого числа. То есть, то число, на количество единиц которого мы уменьшаем другое число.
Вычитание – это арифметическое действие, которое выполняется для получения разности двух или нескольких чисел. то есть, совершить действие вычитания – это найти такое число, которое получится, если от данного числа отнять определенное количество единиц другого числа.
Совершая вычитание натуральных чисел, вы должны помнить, что из одного натурального числа можно вычесть только равное ему или меньшее натуральное число. Действительно, мы никак не можем отобрать единиц предметов больше, чем их есть в наличии.
Связь вычитания и сложения
Действительно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа, вместе. То есть, получаем число, которое складывается из разных чисел.
Поэтому, вычитание и сложение – это взаимно обратные действия. Если нам известна сумма двух слагаемых, мы можем превратить ее в разность двух чисел, и наоборот, разность можно перевести в сумму.
Свойства разности натуральных чисел
Свойства разности натуральных чисел состоят из:
Рассмотрим каждый пункт подробнее.
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы
Как вычесть сумму из числа
Чтобы найти разность числа и суммы чисел нужно из данного числа вычесть последовательно каждое слагаемое суммы. То есть, сначала мы находим разность между данным числом и первым слагаемым, потом от этой полученной разности отнимаем второе слагаемое, третье, и так далее до последнего слагаемого суммы.
Рассмотрим это на примере из урока сложение чисел.
325 +( 12 + 64 + 5 ) = 325 +81 = 406
Я запишу это в виде разности:
и покажу, что результат будет равен первому слагаемому:
Как видите, все верно.
Как вычесть число из суммы
Чтобы найти разность суммы чисел и некоторого числа, нужно отнять это число от какого-нибудь подходящего слагаемого этой суммы. То есть, мы сначала находим разность одного из слагаемых и данного числа, а потом складываем получившийся результат последовательно с остальными слагаемыми.
Действительно, вы знаете, что, если уменьшить одно из слагаемых на какое-то число, то и сумма уменьшится на это же самое число. Следовательно, если нам нужно сумму чисел уменьшить на какое-то число, то для этого достаточно уменьшить на это число одно из слагаемых суммы.
Для рассмотрения я возьму тот же пример, только сумму расчленю на слагаемые, а слагаемое в скобках заменю суммой:
325 +81 = ( 191 + 65 + 150 )
Превращаю выражение в разность:
( 191 + 65 + 150 )-81 = 325
и покажу, что результат также будет равен первому слагаемому:
Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого
Изменение разности при изменении вычитаемого и уменьшаемого является следствием описанных в уроке изменений суммы чисел с изменением ее слагаемых.
Если уменьшаемое увеличить на некоторое количество единиц, то и разность увеличится на такое же количество единиц.
Если уменьшаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то и разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое увеличить на некоторое количество единиц, то разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то разность увеличится на такое же количество единиц.
Если сразу оба числа, и уменьшаемое, и вычитаемое, увеличить или уменьшить на одно и то же количество единиц, то разность не изменится.
Правила вычитания разности
Если нужно вычесть из числа разность других чисел, можно воспользоваться одним из двух способов: 1. Прибавить к данному числу вычитаемое, и из получившейся суммы вычесть уменьшаемое; 2. Вычесть из данного числа уменьшаемое, а потом результат этого действия сложить с вычитаемым.
Это свойство выводится из предыдущих, рассмотренных нами.
22 — 17 = 5
5+ 3 = 8
22 +3-( 17 +3- 3 )
25- 17 +0 = 8
Как видите, оба способа показали верный результат.
Вычитание однозначного числа
Вычитание в столбик многозначных чисел
Вычитание в столбик – это способ нахождения разности чисел при помощи их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим), и последующего вычисления.
После нахождения разности чисел способом вычитания в столбик записываем ответ в строчном примере:
50063-4825 = 45238.
Как проверить действия сложение и вычитание?
Проверить сложение можно двумя способами: обратным сложением и вычитанием.
Обратное сложение означает, что мы меняем слагаемые местами, и складываем их еще раз. Если результат будет такой же, как и после первого сложения, значит, вычисление было верным.
Проверка сложения вычитанием – это способ, при котором нужно из суммы, которую получили после выполнения действия сложение, отнять одно из слагаемых. Если результат этого вычитания будет равен второму слагаемому (или сумме остальных слагаемых, если их больше двух), значит сложение было выполнено верно.
И этот способ проверки показал правильность нашего решения.
Проверить вычитание также возможно и сложением, и другим вычитанием.
Проверка вычитания сложением основана на взаимосвязи вычитания и сложения. Зная, что уменьшаемое – это сумма, а остаток и вычитаемое – это слагаемые, мы можем сложить между собой вычитаемое и остаток, и, если получим в результате уменьшаемое, значит, мы правильно сделали действие.
Вот так выглядит проверка вычитания сложением на примере вычисленной на этом уроке разницы 50063-4825 = 45238 :
