сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз какое наибольшее количество

Санкт-Петербург, № 19

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Пункты (а) и (б) решаются вполне стандартно:

Пусть в первой группе x чисел, их сумма равна A,

Во второй группе y чисел, сумма B

В третьей группе z чисел, сумма C.

После приписывания цифр к числам 1 и 2 групп получим, что вместо числа P из первой группы будет число

Сумма x чисел такого вида будет равна

Во второй группе сумма станет равна

Пусть C = 3, тогда A+B = 9.

Пусть в каждой группе по 1 числу, в первой число 2, во второй 7, в третьей 3, их сумма равна 12. После всех преобразований сумма чисел в группах да, сумма могла увеличиться в 9 раз.

б) Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз;

По условию, x и y – количество чисел в 1 и 2 группах

A, B и C – сумма чисел в группах,

предположение было неверно, сумма не могла увеличиться в 19 раз.

А вот пункт (в) не поддается обычным способам работы с нестандартными задачами. Да, решить его можно. Но в нем как будто нарочно собрали все сложности, встречающиеся в задаче 19. Это работа с неравенствами, неочевидные рассуждения о том, сколько брать чисел в какой группе, сравнение с суммой арифметической прогрессии, нахождение наибольшего члена последовательности. и даже исследование на максимум функции, значение которой при натуральных значениях аргумента такие же, как члены последовательности. Слишком много для одной задачи!

Пусть сумма чисел увеличилась в m раз.

Оценим m. Перед нами, как мы видим, уравнение с 6 неизвестными, из которых m к тому же не обязано быть целым.

В данном случае оценка m – трудная задача даже для профессиональных преподавателей-математиков, не только для абитуриентов. Ведь оценки для A, B, C, x, y не очевидны. Мы знаем только, что числа различны и что в каждой группе должно быть хотя бы одно число. Например,

1) Выделим в выражении для m целую часть.

Заметим, что чем больше C, тем меньше будет m.

2) Разберёмся с x и y, где x – количество чисел в 1 группе, y – во второй.

Конечно, во второй, так как y умножается на 9, а x – только на 6. Значит, m не получится сделать больше, чем в случае, когда все числа, кроме двух, находятся во 2 группе, а в 1-й и 3-ей группах остается по одному числу.

Пусть то есть всего на доске n чисел. Тогда

3) Заметим, что – сумма чисел во всех группах, то есть сумма всех n чисел.

Так как числа различны, их сумма не меньше, чем то есть не меньше суммы арифметической прогрессии с и d = 1.

(применили формулу суммы арифметической прогрессии),

Наконец-то у нас неравенство, в котором всего 2 переменных! Но и это еще не всё.

4) Найдём наименьшее значение выражения

Если бы была функцией, мы могли бы поискать её наименьшее значение с помощью производной. Однако, чтобы функция имела производную (была дифференцируема), она должна быть непрерывной.

– это последовательность, то есть функция натурального аргумента; она дискретна, то есть принимает некоторые значения при и не определена при

Что же, рассмотрим функцию совпадающую с при натуральных t, и найдём её производную.

При производная меняет знак с «-» на «+»;

Следовательно, наибольший член последовательности – это

Приведём пример для

На доске 5 чисел. Возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5.

В первой группе: число 2.
В третьей число 1.
Во второй: 3, 4, 5

После преобразований получим числа: 26, 39, 49, 59, 1. Их сумма

Источник

Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз какое наибольшее количество

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй — B, в третьей — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.

а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.

б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение или что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, откуда то есть Противоречие.

в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное изо всех, то его выгодно обменять местами с минимальным — это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель — а затем заменить на единицу — это уменьшит знаменатель и не изменит числитель. Имеем:

При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть Получим:

Найдем значения полученного выражения при различных y:

y = 1:

y = 2:

y = 3:

y = 4:

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть Найдем производную:

При найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при ее значения меньше, чем значение при

Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой

Источник

Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз какое наибольшее количество

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

а) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом Значит, сумма увеличилась в 8 раз.

б) Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась А, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна а стала

Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:

Это невозможно, поскольку

в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:

Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то не изменится, а увеличится. Значит, отношение Q будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что m = 1, а общее количество чисел равно n + 2. Поскольку числа различные, получаем Кроме того, Значит,

Найдём, при каком значении n выражение принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность

Значит, при и при Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,

Покажем, что отношение Q могло равняться Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом,

Ответ: а) да, 6) нет, в)

Источник

Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз какое наибольшее количество

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй — B, в третьей — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.

а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.

б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение или что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, откуда то есть Противоречие.

в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное изо всех, то его выгодно обменять местами с минимальным — это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель — а затем заменить на единицу — это уменьшит знаменатель и не изменит числитель. Имеем:

При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть Получим:

Найдем значения полученного выражения при различных y:

y = 1:

y = 2:

y = 3:

y = 4:

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть Найдем производную:

При найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при ее значения меньше, чем значение при

Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой

Источник

Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз какое наибольшее количество

Задание 19. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

а) Предположим для простоты, что в каждой группе по одному натуральному числу и эти числа различны:

По условию задания к первому числу приписывается 3, ко второму – 7, а третье остается без изменений. Математически это можно записать так:

Нужно найти такие A, B, C, чтобы сумма увеличилась в 8 раз, то есть, чтобы соблюдалось условие:

Сделаем это методом подбора. Положим первое число A=1, тогда:

Далее, выберем натуральное C такое, чтобы получалось натуральное B. Например, при C=4, B = 8 и имеет три натуральных числа:

Для них выполняется равенство:

б) Предположим, что в 1-й группе оказалось m чисел с их суммой равной A, во второй – n чисел с суммой, равной B, а в третьей числа с суммой C. Тогда условие задания можно записать так:

И, например, сумму A можно определить так:

При условии, что значение A будет меньше m. Следовательно, условие б выполняться не может.

в) Найдем наибольшее k, для которого выполняется равенство:

Выразим это значение, получим:

Отсюда видно, что для максимального k величина C должна быть минимальной (C = 1). Далее, величина 3m растет медленнее, чем 7n, значит, числа из 1-й группы лучше перебросить во вторую. В результате, для максимизации k размер 1-й и 3-й группы следует взять равной 1 – по одному числу. Получаем новое выражение для k:

Отсюда видно, что для максимизации k числитель должен быть максимальным, а знаменатель – минимальным. Следовательно, натуральные числа в группах должны быть:

то есть, начинаться с 1 и увеличиваться на 1 (т.к. должны быть разными). Значит, сумма A+B+C – это арифметическая прогрессия из n+2 слагаемых:

Найдем значение n, при котором k максимально. Так как n меняется дискретно с шагом 1, то производную можно заменить конечной разностью:

Отсюда видно, что знак разности меняется при переходе от n=3 к n=4, следовательно, это и есть точка максимума, при которой:

Ответ: а) да; б) нет; в) 232/21

Источник