теорема фалеса какой класс
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.
Формулировка теоремы
Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.
Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.
Обобщенная формулировка
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:
* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
Обратная теорема Фалеса
1. Для пересекающихся секущих
Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.
Из обратной теоремы следует:
Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.
2. Для параллельных секущих
Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.
Пример задачи
Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.
Решение
Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.
Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.
Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).
Геометрия. 8 класс
Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
И в первом и во втором случае отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1 равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского.
Формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).
Дано: А1А2 = А2А3
c || d || e
Доказать: В1В2 = B2В3
Доказательство:
А) пусть a || b
А1А2 = В1В2
А2А3 = B2В3
Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А1А2 = А2А3, следовательно В1В2 = B2В3
Б) пусть a ≠ b
Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В2, прямую e в точке Е.
A1FB2A2 – параллелограмм, значит А1А2 = FB2
Аналогично доказывается, что А2А3 = B2E, по условию А1А2 = А2А3, значит FB2 = B2E. Треугольники B1FB2 и B2B3E равны по стороне и двум углам.
Следовательно, В1В2 = B2В3
В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице.
Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины.
С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей.
Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей.
Решение:
Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А.
Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ.
Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса.
Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением.
В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.
Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.
Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
Урок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Фалеса»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Самаркина И.С. МБОУ «Школа №130», г.Казань Теорема Фалеса Геометрия 8 класс
Решите задачи Ответ: 1160, 640, 1160
Решите задачи Ответ: 730, 1350 Ответ: 1480, 1060
Решите задачи Ответ: 1330, 1330, 470 Ответ: 1010, 790, 790
Решите задачи Ответ: 80 см Ответ: 80 см (8 дм)
Определения Трапеция Равнобедренная трапеция Прямоугольная трапеция Средняя линяя трапеции Свойства углов и диагоналей равнобедренной трапеции
Дано: ABCD – трапеция, EF – средняя линия. BC = 10см, АD = 27см. Найти: EF Решите задачи Ответ : 18,5см.
Разделите отрезок на две, четыре, три равные части с помощью циркуля
Фалес Милетский «Отец философии», 624 до н.э – 548 до н.э. Считается, что именно Фалес «привез» геометрию из Египта и познакомил с ней греков. Его деятельность привлекла последователей и учеников, которые образовали милетскую школу. Считается, что с милетской школы начинается история европейской науки.
Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.
Считается, что Фалес «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент; ранее этим созвездием пользовались финикийцы.
Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ему приписываются многие геометрические теоремы круг делится диаметром пополам; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны; два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.
№ 384 А В С D Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC. Эта задача поможет нам доказать теорему Фалеса М N
l1 l и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков А1 А2 А3 В2 В3 В1
Е М М1 М2 М3 М4 МК II М1К1 II М2К2 II М3К3 II М4К4 ЕМ = ММ1 = М1М2 = М2М3 = М3М4 КК4 – К1К2 = 15 см Найти: ЕК4 К К1 К2 К3 К4 Алтынов П.И. Тесты. 7-9 кл.
Е М М1 М2 М3 М4 МК II М1К1 II М2К2 II М3К3 II М4К4 ЕМ = ММ1 = М1М2 = М2М3 = М3М4 КК4 – К1К2 = 15 см ЕК4 = 25 см К К1 К2 К3 К4 Алтынов П.И. Тесты. 7-9 кл.
A B C E Дано: АВСD – трапеция, МК II ВE II СD, АD = 16 cм Найти: АК 10 D K 10 M 16 Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 8 класс»
Домашнее задание Решить задачу № 391 Выучить доказательство теоремы Фалеса (см. запись в тетради или задачи № 384, 385) Выполнить практическую работу: Разделить отрезок на 11 равных частей.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-715760
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
55 российских школ остаются на карантине по коронавирусу
Время чтения: 0 минут
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
Более половины родителей не состоят в родительских чатах
Время чтения: 1 минута
Власти Амурской области предложили продлить каникулы в школах в связи с эпидобстановкой
Время чтения: 2 минуты
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Конспект «Теорема Фалеса» (8 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
«Теорема Фалеса» в 8 классе
Учитель Гармаева Ц.Ц.
Образовательная : доказать теорему Фалеса, научить применять её при решении задач по математике
Развивающая : развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная : воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы :
Компьютер
Проектная работа “Теорема Фалеса”.
Плакат с рисунками 1,2,3.
Показать практическое применение теоретических знаний учащихся при решении задач по геометрии и информатике.
Выявить глубокие связи между математикой и информатикой.
Название проекта: Теорема Фалеса
Тема проекта: Теорема Фалеса
Вид проекта: учебный.
Типология проекта: практико-ориентированный, индивидуально- групповой.
Предметные области: математика.
Гипотеза: Если человек знает как разделить отрезок на равные части, возникнет ли необходимость их применять в жизни?
Приветствие и вступительное слово о целях урока.
1. Какие отрезки называются равными?
2. Какие прямые называются параллельными? На рис. 1 покажите параллельные прямые.
3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими? Покажите их на рис.2
4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.
5. Сформулируйте признаки равенства треугольников. По каким признакам равны треугольники на рис 3?
Объяснение нового материала (приложение)
Учащиеся вместе с учителем изучают и выполняют работу по новой теме с помощью просмотра презентации «Теорема Фалеса».
Сегодня мы докажем теорему, носящую имя древнегреческого учёного Фалеса, который жил в 624-547г.г. до н.э. Про древнегреческого ученого Фалеса расскажет ученица Дондокова Людмила.
Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.
Фалес — математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой.
Фалес доказал теорему: “ Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне ”.
При активном участии учащихся разбирается доказательство теоремы с последовательным показом на экране каждого этапа построения чертежа и доказательства теоремы.
Из условия теоремы Фалеса делается вывод, что вместо сторон угла можно взять любые две прямые.
Затем ученики в парах выполняют в тетрадях практическую задачу на деление отрезка длиной в 7см. на 6 равных частей.
Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.
Все этапы решения задачи учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения и выполнения данной практической задачи
Вторую часть урока ведёт учитель информатики. Ученики вместе с учителем на компьютерах делят отрезок на три равные части.
Выполнение практического задания
Разделить данный отрезок на 3-равные части на компьютере
• стрелка; 
• линейка (отрезок, луч).
2.Проведем из т. А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.
3.Отложим на полупрямой а 3 равных отрезка.
Они отсекают на полупрямой а ра в ные отрезки АЕ=ЕР=РО.
4.Соединим точки В и О.
5. Проведем через точки Е и Р прямые, параллельные прямой ВО.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Задача: Разделить отрезок длиной 5 см. на 7 равных частей. Выучить теорему Фалеса.
Подведение итогов урока.
Общие выводы. Заключение
Осуществление данного учебного проекта позволило учащимся развить свои навыки работы не только с дополнительными источниками по математике, но и с компьютером, сформировать навыки работы в сети Интернет, а также коммуникативные способности учащихся.
Участие в осуществлении проекта позволило углубить знания по применению математики в различных областях, а также закрепить знания по указанной теме. Следует отметить, что полученные в ходе осуществления проекта знания извлекаются с конкретной целью и являются объектом заинтересованности ученика. Это способствует их глубокому усвоению.
В целом работа по проекту прошла успешно, в ней приняли участие практически все ученики 8 класса. Каждый был вовлечен в мыслительную деятельность по данной проблематике, приобрел новые знания путем самостоятельной работы. На защите своего проекта выступал каждый ученик. На заключительном этапе были апробированы практические приемы работы, проведен самоанализ в виде презентации.
Проектная деятельность учащихся способствует истинному обучению, т.к. она:
-Характеризуется возрастанием интереса и вовлеченности в работу по мере её выполнения.
-Позволяет реализовать педагогические цели на всех этапах.
-Позволяет учиться на собственном опыте, на реализации конкретного дела.
-Приносит удовлетворение ученикам, видящим продукт собственного труда.
Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Дано : угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А 1 А 2 =А 2 А 3
Из равенства треугольников следует равенство сторон: В 1 В 2 =В 2 В 3
ЗАДАЧА : РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ
1.Проведём из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.
3.Соединим отрезком точку А n с точкой В.
Урок геометрии в 8 классе:»Теорема Фалеса»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ pril.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для Греции, что Ломоносов для России. 624-547г.г. до н.э. Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он. Фалес- математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой Фалес Милетский
Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. А1 А3 Дано: угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А1А2=А2А3 Доказать: В1В2=В2В3 Доказательство. Проведём через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку ( у них В2F=В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы В2FВ3равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и А3В3 и секущей ЕF.) Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В2=В2В3 А2 В1 В2 В3 F E
ЗАДАЧА: РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ А В 1.Проведём из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ. 2.Отложим на полупрямой а равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn. 3.Соединим отрезком точку Аn с точкой В. 4.Через точки А1,А2, … Аn-1проведём прямые, параллельные АnВ. 5.По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, …,Вn-1В равны. А1 А3 Аn-1 Аn В1 В2 В3 Вn-1 А2 а
Выбранный для просмотра документ Интегрированный урок.doc
Интегрированный урок (математика + информатика)
по теме: «Теорема Фалеса»
Цели урока:
Образовательная : доказать теорему Фалеса, научить применять её при решении задач по математике и информатике.
Развивающая : развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная : воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы :
Компьютер, экран, проектор.
Проектная работа “Теорема Фалеса”.
Программа “Живая геометрия”.
Плакат с рисунками 1,2,3.
Показать практическое применение теоретических знаний учащихся при решении задач по геометрии и информатике.
Выявить глубокие связи между математикой и информатикой.
Урок начинает учитель математики. Приветствие и вступительное слово о целях урока.
1. Какие отрезки называются равными?
2. Какие прямые называются параллельными? На рис. 1 покажите параллельные прямые.
3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими? Покажите их на рис.2
4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.
5. Сформулируйте признаки равенства треугольников. По каким признакам равны треугольники на рис 3?
Объяснение нового материала
Учитель математики объясняет новую тему с помощью просмотра проектной работы “Теорема Фалеса”.
Сегодня мы докажем теорему, носящую имя древнегреческого учёного Фалеса, который жил в 624-547г.г. до н.э.
Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.
Фалес — математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой.
Фалес доказал теорему: “ Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне ”.
При активном участии учащихся разбирается доказательство теоремы с последовательным показом на экране каждого этапа построения чертежа и доказательства теоремы.
Из условия теоремы Фалеса делается вывод, что вместо сторон угла можно взять любые две прямые.
Затем ученики выполняют в тетрадях практическую задачу на деление отрезка длиной в 7см. на 6 равных частей.
Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.
Все этапы решения задачи учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения данной задачи.
Показ проектной работы сопровождается музыкой- игрой на гитаре, что создаёт спокойную рабочую обстановку.
Вторую часть урока ведёт учитель информатики. С помощью программы “Живая геометрия” ученики вместе с учителем на компьютерах делят отрезок на три равные части.
Выполнение практического задания
Разделить данный отрезок на 3-равные части на компьютере с помощью программы “Живая геометрия”.
Используемые ИНСТРУМЕНТЫ “Живой геометрии”:
• линейка (отрезок, луч).
Используемые КОМАНДЫ “Живой геометрии”:
2.Проведем из т. А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.
3.Отложим на полупрямой а 3 равных отрезка.
Они отсекают на полупрямой а ра в ные отрезки АЕ=ЕР=РО.
4.Соединим точки В и О.
5. Проведем через точки Е и Р прямые, параллельные прямой ВО.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Задача: Разделить отрезок длиной 5 см. на 7 равных частей. Выучить теорему Фалеса.