теорема менелая в каком классе изучают

15.10.202317.07.2022 admin 0 Comments

Конспект урока. Теорема Менелая и Чевы

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Приложение А

Тема занятия: Теорема Менелая. Теорема Чевы.

Тип занятия: изучение нового материала.

Цель: Создать условие для формирования навыков представления изучения теорем Менелая и Чевы и примении их при решении задач.

Образовательная: изучить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.

Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.

Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Предметные: учащийся научится применять теоремя Менелая и Чевы при решении задач

Метапредметные: развиваем умения:

∙ моделирование ситуации из жизни, постановка и формулирование

∙ использовать математические знания для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;

выбирать наиболее эффективные способы решения поставленных задач;

делать выводы на основе полученной информации;

устанавливать соответствие между объектами и их характеристиками;

проводить сравнение процессов;

строить речевые высказывания в устной и письменной речи;

давать определения понятиям;

∙ самостоятельно «читать» и объяснять информацию, заданную с помощью схематических рисунков, схем, кратких записей;

анализировать тексты простых и составных задач с опорой на краткую запись, схематический рисунок, схему;

развивать логическое мышление;

презентовать подготовленную информацию в наглядном и вербальном виде.

быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению;

понимать и оценивать свой вклад в решение общих задач;

не бояться собственных ошибок и понимать, что ошибки – обязательная часть решения любой задачи;

применять полученные знания на практике;

проявлять волю и настойчивость в достижении цели;

∙ оценивать собственную учебную деятельность: свои достижения, самостоятельность, инициативу, ответственность, причины неудач.

осознание возникшей проблемы, определение последовательности и составление плана и последовательности действий для решения возникшей проблемы

внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действий в случае расхождения эталона. Реального действия и его результата с учётом оценки этого результата самими обучающимся, учителем, товарищами.

определять и формулировать цель конкретного задания;

участвовать в оценке и обсуждении полученного результата;

представлять результаты работы;

∙ определять цель урока и ставить задачи, необходимые для ее достижения;

анализировать собственную работу и давать ей оценку;

соотносить свои действия с планируемыми результатами;

осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата;

∙ оценивать уровень владения тем или иным учебным действием (отвечать на вопрос «что я не знаю и не умею?»)

∙ развивать навыки самостоятельной работы

активно участвовать в обсуждениях, возникающих на уроке;

ясно формулировать свои затруднения, возникшие при выполнении задания;

не бояться собственных ошибок и участвовать в их обсуждении;

работать в команде разного наполнения (паре, малой группе, целым классом);

ясно формулировать вопросы и задания к пройденному на уроке материалу;

ясно формулировать ответы на вопросы других учеников и педагога;

слушать учителя и одноклассников;

аргументировать свою точку зрения;

∙ сформировать ответственное отношение к обучению, готовность к саморазвитию и самопознанию на основе мотивации к обучению и познанию.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Оборудование: персональный компьютер, документ камера, проектор, учебник.

Организационный момент: (Ф)

« Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться ». Е. Т. Белл.

Как вы понимаете эти слова?

Проверка домашнего задания

Проверка №93 через документ камеру (Ф,И)

Мотивационная деятельность (Ф)

Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.

Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.

Постановка темы, цели и задач урока (Ф)

Ребята, как вы считаете, для чего мы с вами познакомились с великими математиками? Как вы считаете какая тема сегодняшнего урока?

Какую цель мы смогли бы с вами поставить? Какие задачи мы поставим на сегодняшний урок?

Актуализация знаний: (Ф, И)

В курсе геометрии мы рассматривали важные свойства геометрических фигур на плоскости, в том числе треугольников. Но не все удивительные факты и соотношения вошли в основной курс. А они значительно облегчают решение многих задач. Сегодня мы рассмотрим две теоремы, связанные с отношениями отрезков в треугольнике, и их применение. Но для этого нам потребуются следующие знания: определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей.

1. Изучение нового материала(Ф)

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон , и треугольника соответственно в точках , , , то имеет место равенство

Доказательство. Проведём . Рассмотрим треугольник и треугольник . Угол как вертикальные. (накрест лежащие при и секущей ) Следовательно, треугольник подобен треугольнику . Стороны подобных треугольников пропорциональны

Рассмотрим треугольник и треугольник

(вертикальные)

(накрест лежащие при и секущей )

Следовательно, треугольник подобен треугольнику . Следовательно,

. У нас получилось два равенства и

Перемножим почленно эти равенства:.

Получим Воспользуемся свойством дробей:

(Например . Имеем Теорема доказана

Доказательство остаётся в силе и в том случае, когда все три точки , , лежат на продолжениях сторон треугольника .

Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть и – ненулевые коллинеарные векторы. Если , то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и , взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

Докажем обратную теорему.

Прибавим к обеим частям равенства единицу. , получим: т.е. , откуда, т.е. _, и совпадут.

Теорема. Пусть на сторонах ; ; треугольника или их продолжениях взяты соответственно точки ; ; . Прямые ; ; пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть прямые ; ; пересекаются в точке , лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне (рисунок б).

Применим теорему Менелая к и секущей , получим:

Для треугольника ACC ₁ и секущей BB ₁ получим:

Перемножим почленно эти равенства:

.Что и требовалось доказать.

Замечание. Если , , параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.

Для решения задач чаще применяется обратная теорема.

Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах ; ; треугольника или их продолжениях взяты соответственно точки ; ; _. Если выполняются равенство , то прямые ; ; пересекаются в одной точке или параллельны.

Доказательство. Пусть . Проведём прямую ,

По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда . Вычтем второе равенство из первого По свойству векторов получим

Т.к. k -1 (иначе бы , то , но точки и не совпадают), следовательно, , т.е. точки , совпадают. Но это и означает, что прямые ; ; пересекаются в одной точке.