теорема пифагора в каком классе изучают 2021

Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок)

Разделы: Математика

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение пройденного материала

(Подготовка к восприятию нового материала).

По готовым рисункам заданы классу вопросы:

Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный).

1. Назовите катеты и гипотенузу (ВС и АС – катеты, АВ – гипотенуза).

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Какой треугольник на рисунке 2? (Равнобедренный, прямоугольный, углы при основании 45 0 )

3. По данным рисунка 3 докажите, что KMNP – квадрат. Как выразить его площадь?

Рисунок 3 Рисунок 4

По рисунку 4 сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.

III. Объяснение нового материала.

“Соедини предлог с игрою,
И чудо вдруг произойдет.
Цветок Египта знаменитый
Перед тобою расцветет”. (Лотос)

А теперь послушайте задачу, предложенную древними индусами:

1) “Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет более цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где он рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?”

Показываю рисунок 5 и объясняю, что означает 1 фут. 1 фут = 0,3048 м. Единица длины системы мер, принятой в англоязычных странах.

Как найти отрезок CD? Кто как думает? Достаточно ли у вас знаний для решения этой задачи?

Предлагается еще одна задача индийского математика XII в. Бхаскары:

Показываю рисунок к задаче. Перед учениками ставится проблема: Что надо знать, чтобы решить эту задачу.

Ребята! Знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?

Ученики могут сформулировать теорему или рассказать о головоломке-игре “Пифагор”.

В каком из европейских городов есть улица Пифагора?

Сегодня вы познакомитесь с одной из основных теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. О математике, именем которого названа теорема, рассказывает ученик. Показываю его портрет.

В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.). С его именем связано много легенд. Он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. На юге Италии возникла Пифагорейская школа. Ими было сделано много в арифметике и геометрии. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

В чем суть теории Пифагора? Ваши предложения.

После этого объявляется тема урока и цель.

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Изобразите прямоугольный треугольник (рисунок 6) и запишите эту формулировку в обозначениях.

Во времена Пифагора эта теорема звучала так: “Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов, построенных на катетах”. Или “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

2-й ученик рассказывает историческую справку об этой теореме.

Теорема была известна задолго до Пифагора египтянам, вавилонянам, китайцам, индийцам. За несколько веков до н.э. эта теорема была хорошо известна и использовалась для построения алтарей.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время известно более ста способов доказательства теоремы Пифагора.

Показываю рисунок 7.

Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны на все стороны равны. Такие стишки придумывали учащиеся, рисовали шаржи к теореме Пифагора. Показываю красочные рисунки.

Теперь докажем теорему и запишем ее доказательства в обозначениях (рисунок 8). Используя наводящие вопросы, ведет запись на доске сильный ученик, а остальные ученики у себя в тетрадях.

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 (с 2 = а 2 + в 2 ).

1) Достроим АВС до квадрата EFLD со стороной а + в (рисунок 9).

2) Из каких фигур состоит квадрат EFLD?

S_EFLD = S_PKMN + 4SD _ABC = c 2 + 4ав = с 2 + 2ав

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав

А для чего нужна теорема Пифагора?

Задача 1. Вычислить, чему равна гипотенуза треугольника, изображенного на рисунке 10. (ответ: 5)

Обратите внимание на эти три числа: 3, 4, 5 (треугольник с такими сторонами называется египетским). О нем вы прочитает дома на стр. 127.

Найдите d по рисунку 11.

d 2 = 6 2 + 8 2 (треугольник прямоугольный)

Итак, ребята, сделаем вывод, когда можно использовать теорему Пифагора?

Ответ: только для прямоугольного треугольника.

А теперь вернемся к задаче о лотосе.

x 2 + x + — x 2 = 4

x = 3.

Ответ: 3 фута.

Задача 2. Вычислите длину неизвестного отрезка по рисунку 12.

AC 2 = 0,5 2 + 1 2 = 0,25 + 1 = 1,25

х 2 = AC 2 + CD 2 = 1,25 + 1 = 2,25

Задача 3. Является ли треугольник прямоугольным, если его сторона выражается числами 5, 6, 7? (самостоятельно)

Задача 4. Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально равна 3 м/с (рисунок 13).

IV. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

“Требует вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теореме Пифагора
Верна и как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор”.

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

Домашнее задание.

П. 54, № 483 (а, б), 486 (а, б), стр. 128.

Сильным ученикам найти другой способ доказательства теоремы.

V. Итог урока.

Вопросы к учащимся:

Источник

Класс: 8

Презентация к уроку

Цели урока:

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Прогнозируемый результат:

1-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

2-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

3-й уровень: каждый ученик должен знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, уметь доказывать теорему Пифагора, уметь применять теорему Пифагора для решения нестандартных задач.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Основные этапы урока:

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

III. Вступительное слово учителя.

Ребята, я рада видеть вас на нашем уроке и предлагаю вам перенестись в Древнюю Грецию и стать учениками пифагорейской школы, которая расположена на острове Самос в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров, и какие «математические события» там происходили. Путешествовать будем на сверхскоростном самолете, ведь время у нас ограничено – 45 минут. Итак, мы в самолете.

А вот уже мы «ступили» на остров (слайд 2)

Нас встречает житель этого острова. (слайд 3)

– Какой геометрической фигурой он представлен?

– Какой треугольник называется прямоугольным?

– Как называются его стороны?

– Укажите название каждой стороны треугольника.

– Перечислите некоторые свойства прямоугольных треугольников.

– Как найти площадь прямоугольного треугольника?

IV. Устная работа.

Чтобы попасть в самое «сердце» острова решите несколько задач.

а) По данным рисунка 1 найдите угол β.
б) По данным рисунка 2 определите вид четырехугольника KMNP.

V. Создание проблемной ситуации.

Решите задачу: «Найдите длину лестницы, приставленной к дому, если один ее конец находится на расстоянии 2 м от стены, а другой на стыке стены. Высота дома 4 м». (слайд 5)

Итак, из рисунка видно, что нужно найти гипотенузу АВ, зная катеты АС и ВС. Но мы пока не умеем решать такие задачи, поэтому цель урока – установить связь между сторонами прямоугольного треугольника, научиться находить гипотенузу, зная катеты и, наоборот, зная гипотенузу и один из катетов, находить другой катет. Зависимость между гипотенузой и катетами установил древнегреческий ученый Пифагор, доказав теорему, которая называется теоремой Пифагора.

Тема урока «Теорема Пифагора» (слайд 6)

VI. Прежде чем, доказывать теорему Пифагора, проведем практическую работу по вариантам.

(слайд 7 этапы практической работы)

(один ученик выполняет у доски)

Что вы можете сказать о полученных площадях?

Вывод: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал Пифагор. (Слайд 8)

VII. Мы с вами на о. Самос, нас встречают экскурсоводы.

б) 2-й экскурсовод. В 530 г. до н.э. Пифагор основал так называемую пифагорейскую школу. Около сорока лет учёный посвятил себя, созданной им школе. Учеников школы называли пифагорейцами. Они занимались не только математикой, но и философией, естественными науками.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

VIII. Интересна и история теоремы Пифагора.

Об этом вы узнаете из учебника геометрии 7-9 автор Л. С. Атанасян и др. стр. 130. Известно более 100 способов доказательства теоремы, докажем один из них.

Доказательство теоремы (один ученик у доски). (слайд 9)

IX. Решение задач.

1) Решите задачу о нахождении длины лестницы. (вернуться к слайду 5)

2) Решение задач по готовым чертежам. (слайд 10)

3) Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII Бхаскары: (слайд 11)

(один из учащихся решает у доски, если возникнут трудности, воспользоваться подсказками (слайды 15-16))

X. Мы возвращаемся домой. Подведем итог путешествия.

Аргументировано оценивается деятельность учащихся на уроке, замечания и предложения по уроку.

Домашнее задание п. 37 №№ 1492 (б), 1489 (в), 1488. (слайд 12)

XI. А сейчас веселая минутка

(С вопросом для внимательных и наблюдательных – где ошибка?)

(слайд 13 видео-ролик из детского юмористического киножурнала «Ералаш»)

Источник

Урок геометрии в 8 классе Теорема Пифагора

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ Урок геометрии в 8 классе Теорема Пифагора.docx

Сахаров Алексей Павлович, учитель математики,

Частное общеобразовательное учреждение «Школа – интернат №3

среднего общего образования ОАО «РЖД» г. Ртищево Саратовской области

Конспект урока геометрии в 8 классе по теме: «Теорема Пифагора»

Тема урока: «Теорема Пифагора».

Цель урока: Дать понятие о теореме Пифагора, о многообразии способов ее доказательства, первичное применение теоремы для решения задач.

исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника; изучить теорему Пифагора; формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;

Познавательные : развивать основы логического и алгоритмического мышления; расширять кругозор учащихся; развивать интерес к математике.

Регулятивные: развивать умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развивать навыки сотрудничества со сверстниками, внимания, памяти, воображения.

Тип урока: формирование новых знаний и умений.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор.

Дидактические средства: учебник, электронная презентация, раздаточный материал.

Методы и приемы: фронтальная работа, сочетающаяся с общеклассной; частично-поисковый метод; индивидуальная работа; работа в парах.

Эпиграф урока: “ Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них – … ”. (слайд 1)

Организационный момент. (1 мин.)

Устная работа. (10 мин.)

Проблемная ситуация. (5 мин.)

Сообщение главной цели урока.

Исследовательская работа (в парах).

Изучение нового материала. (10 мин.)

Закрепление изученного материала. ( решение задач) (10 мин.)

Применение теоремы Пифагора.

Подведение итога урока. (1 мин.)

Домашнее задание. (3 мин.)

Какая геометрическая фигура изображена на экране? (слайд 2).

Какой треугольник называется прямоугольным?

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется… (слайд 3).

Стороны, образующие прямой угол, называются…

Учитель. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников, которые мы уже знаем (слайд 4).

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . (слайд 5).

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. (слайд 7).

— Один из углов прямоугольного треугольника равен 15°. Чему равны остальные углы?

— Один из углов из углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет, противолежащий ему, равен 13 см. Чему равна гипотенуза?

— Катет прямоугольного треугольника равен 16 дм, гипотенуза – 32 дм. Найдите углы треугольника.

Учитель. — Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников

Сначала учащиеся формулируют признаки равенства прямоугольных треугольников, а затем переходим к решению задач на доказательство по готовым чертежам:

Докажите, что треугольники равны. (слайд 8).

Учитель. Посмотрим, что вы помните о свойствах площадей: (слайд 8).

— Сторона квадрата 14 см. Чему равна площадь квадрата?

— Катеты прямоугольного треугольника 4 см и 8 см. Найдите его площадь.

А теперь давайте решим небольшую задачу. (слайд 12)

Задача 1. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в противоположных направлениях. Пешеход пошел на запад со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час?

На каком предмете обычно решают такие задачи?

Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в разных направлениях. Пешеход пошел на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? (слайд 13)

Какая фигура получилась? Какие стороны известны? Что найти?

Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.

Сформулируйте то, что мы должны знать, чтоб решить эту задачу? Это и будет целью нашего урока.

Исследовательская работа (в парах).

Чтоб это выяснить, мы займемся исследовательской деятельностью. Работаем в парах.

1) Учащиеся, получившие бумажные треугольники, выполняют задание:

а) Измерьте стороны треугольников и заполните таблицу на доске:

2) (дополнительное) Я вам раздам лист, на котором оранжевым цветом закрашен равнобедренный прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты. Ответьте на два вопроса и сделайте вывод.

Вывод: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Так изначально формулировалась теорема Пифагора.

Вычислите, чему равен квадрат гипотенузы.

Найдите сумму квадратов катетов.

Какой можно сделать вывод?

Ученик. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Можно ли из данных этой работы сделать такой вывод о связи катетов и гипотенузы всех прямоугольных треугольников? (Нет, т. к. из частных случаев не следуют общие заключения).

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал древнегреческий ученый Пифагор в 6 в. до н. э. Он не открыл эту теорему (она была известна еще в Древнем Египте и Вавилоне), а нашел ее доказательство.

Итак, какова же тема нашего сегодняшнего урока? ( «Теорема Пифагора»). (слайд 15)

Эта теорема является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.

Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников (слайд 16).

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала так:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Действительно, с 2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а 2 и b 2 – площади квадратов, построенных на катетах.

Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. На рисунке вы видите, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В древние времена, доказывая эту теорему, чертили чертёж и просто говорили: «Смотри!».

Возникает вопрос, для любого ли прямоугольно треугольника справедливо это равенство или только для равнобедренного прямоугольного треугольника?

Изучение нового материала.

«Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».

— А кто из вас что-нибудь слышал об этой теореме? (Пифагоровы штаны на все стороны равны).

— Действительно, это шуточная формулировка теоремы. Почему так говорят, вы узнаете несколько позже, сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Я хочу, чтобы вы попробовали доказать её сами, используя свойства площадей и метод, который мы использовали при введении формул сокращённого умножения, при выводе формул площадей некоторых фигур.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Выделите в данной теореме условие и заключение.

Ученик. Условие: в прямоугольном треугольнике. Заключение: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Итак, нам дан прямоугольный треугольник с катетами a, b, гипотенузой с.

Источник