В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла

Суть геометрического смысла определенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Определенным интегралом от функции y = f (x) относительно отрезка [a;b] называют предел интегральных сумм Sn при n, стремящемся к бесконечности.

В данном выражении:

представляет собой площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции f(x) в пределах от a до b.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла можно записать таким образом:

К примеру, масса неоднородного стержня AD будет представлена с помощью равенства:

Скорость перемещения точки вдоль прямой составит:

Вычисление определенного интеграла и площади криволинейной трапеции основано на теореме.

Теорема о вычислении определенного интеграла

В том случае, когда f является непрерывной и неотрицательной функцией на отрезке [a;b], а F представляет собой ее первообразную на этом интервале, площадь соответствующей криволинейной трапеции будет определяться как приращение первообразной на интервале [a;b].

Теорему можно записать в таком виде:

Полученное выражение можно представить с помощью графика:

Доказательство теоремы

Доказать утверждение можно путем последовательных действий. Сначала требуется на интервале [a;b] зафиксировать х и найти площадь фигуры, которая расположены под кривой на отрезке [a;х]. Таким образом, каждому х соответствует S(х), и получится новая функция:

Таким образом, площадь криволинейной трапеции будет определяться, как приращение любой первообразной на интервале [a;b].

Формула Ньютона-Лейбница

Функция y = f (x) является непрерывной в интервале [a;b]. Непрерывную функцию можно представить на графике:

Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл обладает рядом характерных свойств:

Как найти площадь криволинейной трапеции при помощи интеграла

В качестве примера можно рассмотреть определенный интеграл:

С помощью геометрической интерпретации можно определить площадь криволинейной трапеции:

Графически функцию и площадь трапеции можно изобразить, таким образом:

Источник

Презентация к уроку

Введение.

Интеграл, интегрирование, интеграция. Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

Геометрический смысл задачи интегрирования.

s’(t)=v(t) и обратное действие интегрирования дает =s(t).

Таким образом, интеграл скорости равен пути.

Рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого интеграла.

Пусть точка движется с постоянной скоростью v=v₀ . Графиком скорости в системе координат (v, t) будет прямая v=v₀ , параллельная оси t. Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле s = v_0* t. Эта величина представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного графиком функции v=v₀, осью абсцисс, осью ординат и параллельной оси ординат прямой. Т.о., путь точки равен площади под графиком.

Если движение неравномерное, то скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени [t, t+dt]. Если скорость меняется по закону v=v(t), то путь, пройденный за отрезок времени [t, t+dt] выразится произведением v(t)* dt. На графике это площадь прямоугольника со сторонами v(t) и dt. Точное значение пути за отрезок времени [t, t+dt] равно площади криволинейной трапеции, закрашенной на рисунке. Весь путь получится сложением площадей таких криволинейных трапеций, т.е. выразится как площадь под графиком.

Т.о. задача интегрирования тесно связана с задачей вычисления площади.

Вывод: интеграл – это площадь.

Криволинейная трапеция.

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком положительной функции f, определенной на заданном промежутке, прямой х = а, х = b, осью х.

Площадь криволинейной трапеции – это определенный интеграл

S кр. тр.=

Криволинейную трапецию можно образовать с помощью различных функций.

Если умеем вычислять площадь, то научимся вычислять интеграл.

“Метод исчерпывания” Архимеда (сообщение студента).

В данном примере определенный интеграл вычислялся через площадь треугольника. Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит и интегралов от некоторых функций, проделал Архимед еще в 3 веке до н.э. Он вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им метода исчерпывания.

При определении объемов Архимед разбивает тело рядом параллельных плоскостей на тонкие слои, которые заключает между двумя рядами цилиндров: вписанных и описанных. Суммируя объемы каждого ряда, он получает два предела, между которыми находится искомый объем ( работа с плакатом). Эти пределы могут быть сближены, если уменьшить расстояние между секущими плоскостями. Таким образом, Архимед является как бы предвозвестником того универсального метода, который мы называем “интегральным исчислением”, дающим общую формулу для вычисления объемов и площадей.

Демонстрация метода на примере яблока.

Предположим, что нам надо вычислить объем яблока, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо формулу объема нельзя. С помощью взвешивания найти объем также трудно, так как плотность яблока в разных частях разная. Поступим следующим образом. Разрежем яблоко на тонкие дольки. Каждую дольку приближенно можно считать цилиндриком, радиус основания которого можно измерить. Объем такого цилиндра можно вычислить легко по готовой формуле V=пR 2 H. Сложив объемы маленьких цилиндриков, мы получим приближенное значение объема всего яблока. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать яблоко.

Интегральная сумма.

Применим аналогичную процедуру для вычисления площади криволинейной трапеции. Рассмотрим график функции f, заданной на отрезке [a;b]. Разобьем этот отрезок на несколько одинаковых частей. Площадь криволинейной трапеции разобьется на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. Каждую трапецию можно приближенно считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников дает приближенное представление о площади всей фигуры. Чем мельче разбиение отрезка, тем точнее вычисление площади. Если записать математическими символами эти рассуждения, то получим сумму S_n = f(x₁) * dx₁ + f(x₂) * dx₂+. + f(x_n) * dx_n, которую называют интегральной суммой функции f.

Геометрически эта сумма представляет собой площадь закрашенной ступенчатой части фигуры. Интегральная сумма дает приближенное значение площади. Точное значение получают с помощью предельного перехода. Представим, что разбиение отрезка [a;b] таково, что длины маленьких отрезков стремятся к нулю( dx_k— 0).тогда площадь ступенчатой фигуры приближается к площади криволинейной трапеции.

Итак, определенный интеграл равен пределу интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление пределов интегральных сумм оказалось трудоемким процессом, как вы видите.

Сообщение.

Архимед сумел вычислить некоторые площади и объемы, фактически находя пределы интегральных сумм для квадратической функции. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли развитие и были доведены до уровня интегрального исчисления.

Так интегрировались, суммировались идеи и открытия. Вычисление определенного интеграла было сведено к формуле Ньютона-Лейбница, названной в честь математиков, впервые использовавших связь дифференцирования и интегрирования.

Теорема Ньютона-Лейбница гласит, что интеграл равен приращению первообразной: =F(b)-F(a) = F(x)|_a b

Самостоятельная работа.

Вариант I.

1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке:

2. Вычислите определенные интегралы:

Вариант II

1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке:

2. Вычислите определенные интегралы:

Домашнее задание.

а) Решите самостоятельно задания любого уровня.

Уровень 1.

Вычислите интеграл: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Уровень 2.

Найдите пары чисел a и b, при которых функция удовлетворяет условию:

Без вычислений запишите, чему равен интеграл

Указание: используйте график функции y=

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.

б) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

в) Дополнительное задание на смекалку.

Запишите пять латинских букв s, r, x, d и снова x. Замените s и r математическими знаками, которые произошли от этих букв. Проведите необходимые преобразования и сообщите окончательный результат.

Источник

Лекция 4. Определенный интеграл, его свойства и вычисление

Зміст

1. Понятие определенного интеграла

4) составим интегральную сумму функции y = f( x ) на отрезке [ a, b ]:

5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на частичные отрезки, ни от выбора точек z_i в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f( x ) на отрезке [ a, b ] и обозначается

В этом случае функция f( x ) называется интегрируемой на [ a, b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f( x ) – подынтегральной функцией, f( x ) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [ a, b ] называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция y = f( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке.

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

4. Формула Ньютона–Лейбница

Теорема 2. Если функция y = f( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Для подынтегральной функции f( x ) = x 2 произвольная первообразная имеет вид

Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:

5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция y = f( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Если:

1) функция x = φ ( t ) и ее производная φ ‘( t ) непрерывны при ;

2) множеством значений функции x = φ ( t ) при является отрезок [ a, b ];

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ ( t ) = a и φ ( t ) = b ).

Пример 2. Вычислить интеграл

6. Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции u = u( x ) и v = v( x ) имеют непрерывные производные на отрезке [ a, b ]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

Пример 3. Вычислить

Источник

Опорный конспект определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла. Применение определённого интеграла для вычисления площади криволинейной трапеции.

1. Криволинейная трапеция.

2.Геометрический смысл определённого интеграла.

3. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Вычисление площади является одной из наиболее не простых проблем теории площадей. В школьном курсе геометрии мы научились находить площади основных геометрических фигур, например, круга, треугольника, ромба и т.п. Однако намного чаще приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. При решении более подобных задач приходится прибегать к интегральному исчислению.

1. Криволинейная трапеция.

Требования к определению криволинейной трапеции.

1)функция непрерывна на отрезке;

2) функция не меняет знак на отрезке (или только положительна или только отрицательна);

3)ограничена прямыми х=а, х=в;

Выявим фигуры, которые являются криволинейными трапециями и подробно рассмотрим примеры не криволинейных трапеций

Учитывая требования к определению криволинейной трапеции, криволинейными трапециями являются фигуры под цифрой1,3 и 5.

Если хотя бы одно из требований к определению криволинейной трапеции не выполняется, то фигура не будет криволинейной трапецией.

В нашем случае под цифрой 2 заштрихованная фигура не опирается на ось ОХ, значит эта фигура и не будет криволинейной трапецией.Под цифрой 4 фигура не будет криволинейной трапецией, так как она ограничена разными функциями,но по отдельности верхняя часть является криволинейной трапецией и нижняя часть также является криволинейной трапецией. Но вместе они не составляют криволинейную трапецию.

А если функция отрицательная, то применяем следующую теорему:

Для вычисления площади криволинейной трапеции пользуются формулой Ньютона- Лейбница

Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так:

3. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции:

1) Построить фигуру, ограниченную заданными линиями

2) Проверить является ли построенная фигура криволинейной трапецией

3) Подставить все необходимые данные в формулу

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 2. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

Ответ:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х2 + 4 ; х = 0 ; х = −1; у = 0

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла .

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

№ 1.Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4.

ветви вниз. График прямой

– биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. = =( )

Искомая площадь равна 4,5

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы .

То есть, пределы интегрирования найдены.

= ( )

Ответ:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1229953

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Отказавшихся от вакцинации сотрудников МГУ отстранили от работы со студентами

Время чтения: 1 минута

Службы примирения появятся в каждой школе Москвы до конца учебного года

Время чтения: 1 минута

В России отцы охотнее дают деньги детям на карманные расходы, чем матери

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В России зарегистрировали вакцину от коронавируса для подростков

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник