В чем заключается планирование эксперимента

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента — достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

История

Планирование эксперимента возникло в 20-х годах XX века из потребности устранить или хотя бы уменьшить систематические ошибки в сельскохозяйственных исследованиях путем рандомизации условий проведения эксперимента. Процедура планирования оказалась направленной не только на уменьшение дисперсии оцениваемых параметров, но также и на рандомизацию относительно сопутствующих, спонтанно изменяющихся и неконтролируемых переменных. В результате удалось избавится от смещения в оценках.

С 1918 г. Р. Фишер начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 году появилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению. В 1942 году А. Кишен рассмотрел планирование эксперимента по латинским кубам, которое явилось дальнейшим развитием теории латинских квадратов. Затем Р. Фишер независимо опубликовал сведения об ортогональных гипер-греко-латинских кубах и гипер-кубах. Вскоре после этого в 1946 г. Р. Рао рассмотрел их комбинаторные свойства. Дальнейшему развитию теории латинских квадратов посвящены работы Х. Манна (1947—1950 гг).

Первое глубокое математическое исследование блок-схемы выполнено Р. Боузом в 1939 г. Вначале была разработана теория сбалансированных неполноблочных планов (BIB-схемы). Затем Р. Боуз, К. Нер и Р. Рао обобщили эти планы и разработали теорию частично сбалансированных неполноблочных планов (РBIB-схемы). С тех пор изучению блок-схем уделяется большое внимание как со стороны специалистов по планированию эксперимента (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн и другие), так и со стороны специалистов по комбинаторному анализу (Боуз, Ф. Шимамото, В. Клатсворси, С. Шрикханде, А. Гофман и др.).

Исследования Р. Фишера знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Фишер разработал метод факторного планирования. Йетс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью факторного эксперимента является необходимость ставить сразу большое число опытов.

В 1945 г. Д. Финни ввел дробные реплики от факторного эксперимента. Это позволило сократить число опытов и открыло дорогу техническим приложениям планирования. Другая возможность сокращения необходимого числа опытов была показана в 1946 г. Р. Плакеттом и Д. Берманом, которые ввели насыщенные факторные планы.

Г. Хотеллинг в 1941 г. предложил находить экстремум по экспериментальным данным с использованием степенных разложений и градиента. Следующим важным этапом было введение принципа последовательного шагового экспериментирования. Этот принцип, высказанный в 1947 г. М. Фридманом и Л. Сэвиджем, позволил распространить на экспериментальное определение экстремума — итерацию.

Чтобы построить современную теорию планирования эксперимента, не хватало одного звена — формализации объекта исследования. Это звено появилось в 1947 г. после создания Н. Винером теории кибернетики. Кибернетическое понятие «черный ящик», играет в планировании важную роль.

В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента. В ней сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов с использованием оценки коэффициентов степенных разложений методом наименьших квадратов, движение по градиенту и отыскание интерполяционного полинома в области экстремума функции отклика (почти стационарной области).

В 1954—1955 гг. Дж. Бокс, а затем П. Юл. показали, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Направление получило развитие в работах Н. П. Клепикова, С. Н. Соколова и В. В. Федорова в ядерной физике.

Третий этап развития теории планирования эксперимента начался в 1957 г., когда Бокс применил свой метод в промышленности. Этот метод стал называться «эволюционным планированием». В 1958 г. Г. Шиффе предложил новый метод планирования эксперимента для изучения физико-химических диаграмм состав — свойство под названием «симплексной решетки».

Развитие теории планирование эксперимента в СССР отражено в работах В. В. Налимова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановского, Е. В. Марковой, В. Б. Тихомирова.

Этапы планирования эксперимента

Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов. Если же по каким-либо причинам число испытаний уже ограничено, то методы дают оценку точности, с которой в этом случае будут получены результаты. Методы учитывают случайный характер рассеяния свойств испытываемых объектов и характеристик используемого оборудования. Они базируются на методах теории вероятности и математической статистики.

Планирование эксперимента включает ряд этапов.

1. Установление цели эксперимента (определение характеристик, свойств и т. п.) и его вида (определительные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения эксперимента (имеющееся или доступное оборудование, сроки работ, финансовые ресурсы, численность и кадровый состав работников и т. п.). Выбор вида испытаний (нормальные, ускоренные, сокращенные в условиях лаборатории, на стенде, полигонные, натурные или эксплуатационные).

3. Выявление и выбор входных и выходных параметров на основе сбора и анализа предварительной (априорной) информации. Входные параметры (факторы) могут быть детерминированными, то есть регистрируемыми и управляемыми (зависимыми от наблюдателя), и случайными, то есть регистрируемыми, но неуправляемыми. Наряду с ними на состояние исследуемого объекта могут оказывать влияние нерегистрируемые и неуправляемые параметры, которые вносят систематическую или случайную погрешность в результаты измерений. Это — ошибки измерительного оборудования, изменение свойств исследуемого объекта в период эксперимента, например, из-за старения материала или его износа, воздействие персонала и т. д.

4. Установление потребной точности результатов измерений (выходных параметров), области возможного изменения входных параметров, уточнение видов воздействий. Выбирается вид образцов или исследуемых объектов, учитывая степень их соответствия реальному изделию по состоянию, устройству, форме, размерам и другим характеристикам.
На назначение степени точности влияют условия изготовления и эксплуатации объекта, при создании которого будут использоваться эти экспериментальные данные. Условия изготовления, то есть возможности производства, ограничивают наивысшую реально достижимую точность. Условия эксплуатации, то есть условия обеспечения нормальной работы объекта, определяют минимальные требования к точности.
Точность экспериментальных данных также существенно зависит от объёма (числа) испытаний — чем испытаний больше, тем (при тех же условиях) выше достоверность результатов.
Для ряда случаев (при небольшом числе факторов и известном законе их распределения) можно заранее рассчитать минимально необходимое число испытаний, проведение которых позволит получить результаты с требуемой точностью.

5. Составление плана и проведение эксперимента — количество и порядок испытаний, способ сбора, хранения и документирования данных.
Порядок проведения испытаний важен, если входные параметры (факторы) при исследовании одного и того же объекта в течение одного опыта принимают разные значения. Например, при испытании на усталость при ступенчатом изменении уровня нагрузки предел выносливости зависит от последовательности нагружения, так как по-разному идет накопление повреждений, и, следовательно, будет разная величина предела выносливости.
В ряде случаев, когда систематически действующие параметры сложно учесть и проконтролировать, их преобразуют в случайные, специально предусматривая случайный порядок проведения испытаний (рандомизация эксперимента). Это позволяет применять к анализу результатов методы математической теории статистики.
Порядок испытаний также важен в процессе поисковых исследований: в зависимости от выбранной последовательности действий при экспериментальном поиске оптимального соотношения параметров объекта или какого-то процесса может потребоваться больше или меньше опытов. Эти экспериментальные задачи подобны математическим задачам численного поиска оптимальных решений. Наиболее хорошо разработаны методы одномерного поиска (однофакторные однокритериальные задачи), такие как метод Фибоначчи, метод золотого сечения.

6. Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик.
Необходимость обработки вызвана тем, что выборочный анализ отдельных данных, вне связи с остальными результатами, или же некорректная их обработка могут не только снизить ценность практических рекомендаций, но и привести к ошибочным выводам. Обработка результатов включает:

Построение математической модели выполняется в случаях, когда должны быть получены количественные характеристики взаимосвязанных входных и выходных исследуемых параметров. Это — задачи аппроксимации, то есть выбора математической зависимости, наилучшим образом соответствующей экспериментальным данным. Для этих целей применяют регрессионные модели, которые основаны на разложении искомой функции в ряд с удержанием одного (линейная зависимость, линия регрессии) или нескольких (нелинейные зависимости) членов разложения (ряды Фурье, Тейлора). Одним из методов подбора линии регрессии является широко распространенный метод наименьших квадратов.

Для оценки степени взаимосвязанности факторов или выходных параметров проводят корреляционный анализ результатов испытаний. В качестве меры взаимосвязанности используют коэффициент корреляции: для независимых или нелинейно зависимых случайных величин он равен или близок к нулю, а его близость к единице свидетельствует о полной взаимосвязанности величин и наличии между ними линейной зависимости.
При обработке или использовании экспериментальных данных, представленных в табличном виде, возникает потребность получения промежуточных значений. Для этого применяют методы линейной и нелинейной (полиноминальной) интерполяции (определение промежуточных значений) и экстраполяции (определение значений, лежащих вне интервала изменения данных).

7. Объяснение полученных результатов и формулирование рекомендаций по их использованию, уточнению методики проведения эксперимента.

Снижение трудоемкости и сокращение сроков испытаний достигается применением автоматизированных экспериментальных комплексов. Такой комплекс включает испытательные стенды с автоматизированной установкой режимов (позволяет имитировать реальные режимы работы), автоматически обрабатывает результаты, ведет статистический анализ и документирует исследования. Но велика и ответственность инженера в этих исследованиях: четкое поставленные цели испытаний и правильно принятое решение позволяют точно найти слабое место изделия, сократить затраты на доводку и итерационность процесса проектирования.

Источник

Планирование экспериментов

Эксперимент должен быть информативен, то есть давать всю нужную информацию, которой следует быть полной, точной, достоверной. Но она должна быть получена приемлемым способом. Это означает, что способ должен удовлетворять экономическим, временным и, возможно, другим ограничениям. Такое противоречие разрешается с помощью рационального (оптимального) планирования эксперимента.

4.1. Сущность и цели планирования эксперимента

Для организации экспериментов наиболее важно следующее.

Компьютерный эксперимент с имитационной моделью обладает преимуществами перед натурным экспериментом по всем этим позициям.

Что же такое компьютерный (машинный) эксперимент?

Компьютерный эксперимент представляет собой процесс использования модели с целью получения и анализа интересующей исследователя информации о свойствах моделируемой системы.

Эксперимент требует затрат труда и времени и, следовательно, финансовых затрат. Чем больше мы хотим получить информации от эксперимента, тем он дороже.

Средством достижения приемлемого компромисса между максимумом информации и минимумом затрат ресурсов является план эксперимента.

План эксперимента определяет:

Планирование экспериментов имеет следующие цели:

Таким образом, план эксперимента на компьютере представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой информации.

Очевидно, пользы от такой организации эксперимента мало, полученные данные трудно обозреть и проанализировать. Кроме того, большими будут затраты ресурсов, а они всегда ограничены.

Весь комплекс действий по планированию эксперимента разделяют на две самостоятельные функциональные части:

Тактическое планирование обеспечивает достижение заданных точности и достоверности результатов.

4.2. Элементы стратегического планирования экспериментов

Объектами стратегического планирования являются:

Математические методы планирования экспериментов основаны на так называемом кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента (рис. 4.1).

— входные переменные, факторы;

— ошибка, помеха, вызываемая наличием случайных факторов;

— оператор, моделирующий действие реальной системы, определяющий зависимость выходной переменной от факторов

Иначе: — модель процесса, протекающего в системе.

Второй проблемой стратегического планирования является выбор ( определение ) существенных факторов и их сочетаний, влияющих на работу моделируемого объекта. Факторами могут быть питающие напряжения, температура, влажность, ритмичность поставок комплектующих и многое другое. Обычно число факторов велико и чем меньше мы знакомы с моделируемой системой, тем большее, нам кажется, число их влияет на работу системы. В теории систем приводится так называемый принцип Парето:

это достигается достаточно глубоким изучением моделируемого объекта и протекающих в нем процессов.

Факторы могут быть количественными и (или) качественными.

К совокупности воздействующих факторов предъявляются два основных требования:

Совместимость факторов означает, что все комбинации значений факторов осуществимы.

Независимость факторов определяет возможность установления значения фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.

В стратегических планах факторы обозначают латинской буквой , где индекс указывает номер (тип) фактора. Встречаются и такие обозначения факторов: и т. д.

Третьей проблемой стратегического планирования является выбор значений каждого фактора, называемых уровнями фактора.

Число уровней может быть два, три и более. Например, если в качестве одного из факторов выступает температура, то уровнями могут быть: 80 o С, 100 o С, 120 o С.

С точки зрения удобства планирования эксперимента целесообразно устанавливать одинаковое число уровней у всех факторов. Такое планирование называют симметричным.

Анализ данных эксперимента существенно упрощается, если назначить уровни факторов, равноотстоящие друг от друга. Такой план называется ортогональным. Ортогональность плана обычно достигают так: две крайние точки области изменения фактора выбирают как два уровня, а остальные уровни располагают так, чтобы они делили полученный отрезок на две части.

Например, диапазон питающего напряжения 30…50 В на пять уровней будет разбит так: 30 В, 35 В, 40 В, 45 В, 50 В.

Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней всех факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

План ПФЭ предельно информативен, но он может потребовать неприемлемых затрат ресурсов.

Если отвлечься от компьютерной реализации плана эксперимента, то число измерений откликов (реакций) модели при ПФЭ равно:

где — число уровней -го фактора, ; — число факторов эксперимента.

Величина определяет структуру стратегического плана, то есть количество наблюдений (информационных точек).

При машинной реализации ПФЭ в каждом наблюдении (информационной точке) нужно выполнить определенное число прогонов (реализаций) модели, чтобы обеспечить заданную точность и достоверность значений откликов. Определение числа прогонов модели является предметом тактического планирования.

Обозначим число прогонов в каждом наблюдении . Тогда для симметричного ПФЭ общее число необходимых прогонов модели равно:

Пример 4.1. Планируется провести компьютерный эксперимент, в котором на отклик модели влияют три фактора. Для каждого фактора установлены три уровня. Требования по точности и достоверности требуют 6000 прогонов модели на каждом уровне (для каждого наблюдения). Время одного прогона модели равно 2 с.

Оценить затраты времени на проведение компьютерного эксперимента.

Исходные данные: , , , .

Число прогонов модели: .

Затраты времени : .

нее получить так называемую «вторичную модель» в виде аналитической зависимости. В дальнейшем «вторичная модель» может быть использована на практике или в других исследованиях. В таких случаях математическая модель формируется по данным эксперимента методом регрессионного анализа, что будет предметом нашего рассмотрения в следующей теме.

Источник

Планирование эксперимента. Основные понятии и определения

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА Основные понятии и определения

Большинство научных исследований связано с экспериментом.

Под экспериментом понимается совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

План эксперимента совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Для определения понятия объекта исследовании удобно использовать понятие так называемого «черного ящика» (рис. 1)

Рис.1. Схема «черного ящика»

Стрелки справа изображают интересующие нас свойства объекта (У) называемые откликами. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия обозначаются (X) и называются факторами.

Если число уровней (р) каждого из k количества факторов одинаково, то

Например, объект с десятью факторами на четырех уровнях имеет свыше миллиона возможных состояний. Очевидно, что в такой ситуации практически невозможно провести эксперимент по оценке всех возможных состояний объекта исследований. В этом случае и необходимо планирование эксперимента.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. В этом случае используется метод планирования регрессионного эксперимента.

• планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

• планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т. е. составление планов для объектов с качественными факторами;

• планирование при изучении динамических процессов и т. д.

Каждый фактор считается заданным если указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер. При планировании активного эксперимента факторы должны быть:

(для двух факторов рис. 2.).

Если произвести сечение поверхности отклика плоскостями параллельными плоскости Х1ОХ2, и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость, получится набор линий равного отклика (рис. 3).

Пространство, в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством.

Каждому возможному состоянию объекта исследований соответствует одно значение отклика. Обратное неверно: одному возможному значению отклика может соответствовать сколь угодно состояний объекта исследований.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКТРЕМАЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В планирование экстремального эксперимента отклик принято называть параметром оптимизации. Далее факторы с натуральными значениями обозначаются как X ■

Рис. 4. Поиск экстремальной точки поверхности отклика в традиционном эксперименте

В точке L с известным значением У фиксируется один из факторов, например Х|, и начинается движение от этой точки вдоль оси Х2. Движение по оси Х2 продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост (снижение) У. В точке М с наилучшим значением параметра оптимизации фиксируется фактор Х2 и начинается движение вдоль оси Х|. В точке N со следующим наилучшим значением У снова фиксируется Х| и начинается движение вдоль оси Х2 и т. д.

Очевидно, что путь к экстремуму по ломанной кривой LMNR не является оптимальным.

Кратчайшим путем достижения экстремума является движение по градиенту. Этот метод (метод крутого восхождения) разработан Боксом и Уиллсоном.

Метод Бокса-Уиллсона (крутого восхождения)

Первоначально в совместной области определения находится локальная подобласть для планирования эксперимента по определению направления движение по градиенту. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа: выбор основного уровня и выбор интервалов варьирования. Основной (нулевой) уровень, то есть комбинация уровней факторов (Х10,Х20. Х 0), соответствующая наилучшему значению параметра оптимизации, определяется

из анализа априорной информации. Далее для каждого фактора выбираются два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.

Факторы могут иметь разные размерности и резко отличаться количественно. В планировании эксперимента используют кодирование факторов.

Для факторов с непрерывной областью определения

После выбора локальной подобласти строится матрица планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ), то есть эксперимента, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Когда число уровней каждого фактора равно двум, все возможные сочетания уровней факторов (число опытов) равны 2к.

Геометрическая интерпретация ПФЭ 22 и 23 приведена на рисунке 6.

Источник