В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов 9 класс

Геометрия. 9 класс

По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и (DС) ⃗.

(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.

Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a₁) ⃗+ (a₂) ⃗ + (a₃) ⃗ + (a₄) ⃗+ (a₅) ⃗

Источник

В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов 9 класс

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В алгебре часто при упрощении выражений и различных вычислениях используются переместительный и сочетательный законы.

Эти законы также справедливы для векторов.

Вспомним правило сложения векторов – правило треугольника.

Пусть нам даны два вектора а и b.

От произвольно выбранной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а.

Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b.

Вектор АС называется суммой векторов а и b.

Воспользуемся этим правилом треугольника для доказательства следующей теоремы.

сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а (переместительный закон);

сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с (сочетательный закон).

Для доказательства переместительного закона рассмотрим случай, когда векторы а и b не коллинеарны, т.е. ненулевые и не лежат на одной или параллельных прямых (случай коллинеарных векторов рассмотрите самостоятельно).

От произвольной точки А отложим вектор АВ, равный вектору а, и вектор АD, равный вектору b.

Основываясь на построенных векторах, достроим параллелограмм АВСD так, что вектор АВ равен вектору DС, а вектор АD равен вектору ВС.

По правилу треугольника сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС, т.е. равна сумме векторов а и b.

С другой стороны, сумма векторов AD и DC также равна вектору АС, т.е. сумме векторов b и а.

Таким образом, сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а.

Переместительный закон доказан.

Для доказательства сочетательного закона отложим от произвольной точки А вектор АВ, равный вектору а, от точки В вектор ВС, равный вектору b, и от точки С вектор CD, равный вектору с.

Рассмотрим сумму векторов а плюс b и вектора с с точки зрения правила треугольника: сумма векторов а и b равна вектору АС, в свою очередь, сумма вектора АС и вектора с равна вектору АD.

Теперь рассмотрим сумму векторов а и b плюс с: сумма векторов b и с, согласно рисунку, равна вектору ВD, в свою очередь, сумма векторов а и ВD равна вектору АD.

Исходя из этого, сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с.

Что доказывает сочетательный закон.

Важно отметить, что при доказательстве переместительного закона было обосновано правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b, необходимо от произвольной точки А отложить вектор АВ, равный вектору а, и вектор AD, равный вектору b, затем достроить параллелограмм АВСD, тогда вектор АС равен сумме векторов а и b.

Правило треугольника и правило параллелограмма находят сумму двух векторов, но как сложить несколько векторов?

Чтобы сложить несколько векторов, необходимо сложить первый вектор со вторым, затем сложить их сумму с третьим вектором и так далее.

Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке происходит сложение.

Рассмотрим рисунок, отражающий сумму векторов а, b и с:

от произвольной точки А отложен вектор АВ, равный вектору а, затем от точки В отложен вектор ВС, равный вектору b, и, наконец, от точки С отложен вектор CD, равный вектору с.

В результате получается вектор АD, равный сумме векторов а, b и с.

Если продолжить процесс откладывания векторов, можно построить сумму четырех, пяти, любого количества векторов.

Правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника: если А1, А2, …,Аn – произвольные точки плоскости, то сумма векторов А1А2, А2А3, …, Аn –1An равна вектору А1Аn.

Это равенство справедливо для всех точек А1, А2, …, Аn, в частности, когда некоторые из них совпадают.

Важно заметить, что если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

Итак, подведем итоги:

– Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:

сумма векторов а и b равна сумме векторов b и а;

сумма векторов а плюс b и с равна сумме векторов а и b плюс с.

– Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b, необходимо от точки А отложить вектор АВ, равный вектору а, и вектор AD, равный вектору b, затем достроить параллелограмм АВСD, тогда вектор АС равен сумме векторов а и b (правило параллелограмма).

– Если А1, А2 … An – произвольные точки плоскости, то сумма векторов

А1А2, А2А3. Аn–1An равна вектору А1Аn (правило многоугольника).

Источник

Презентация по геометрии 9 класс на тему «Сложение векторов»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ДЕМЕНИНСКИЙ ФИЛИАЛ МКОУ «Хомутовская средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением английского языка» Хомутовского района Курской области ПРЕЗЕНТАЦИЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 класс ТЕМА: «СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА» учитель: Казанцева Зоя Васильевна

* ввести понятие суммы двух векторов; * рассмотреть законы сложения векторов; *научить строить сумму двух данных векторов, используя правило треугольника и параллелограмма. Цели урока:

Ход урока Анализ результатов самостоятельной работы. II. Изучение нового материала Рассмотреть пример п. 79 о перемещении материальной точки из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249). Записать: АС = АВ + ВС.

а b c c = а + b ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА 2. Понятие суммы двух векторов (рис. 250); правило треугольника с = а + b. а b

а b c а + b = c 7. ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Примеры частного использования этого правила в физике, например, при сложении двух сил. а b А

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-470375

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

ОНФ проверит качество охраны в российских школах

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения подготовило проект плана по модернизации детских лагерей в России

Время чтения: 3 минуты

В России стартовал прием заявок на конкурс для журналистов-школьников «Медиабум»

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения РФ опубликовало методические рекомендации по проведению инклюзивных смен для детей с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Конспект урока по геометрии на тему: «Сумма двух векторов» (9 класс)

9 класс ГЕОМЕТРИЯ Урок № 9

Тема: Сумма двух векторов.

Цели: ввести понятия суммы двух векторов на примере правила треугольника;
рассмотреть законы сложения векторов и правило параллелограмма; научить
учащихся строить сумму двух данных векторов, используя правила треугольника и
параллелограмма.

II . Мотивация к учебной деятельности

III . Проверка домашнего задания

Учительт проверяет решение задачи № 752 (устно)

IV . Определение темы урока

Учитель рисует векторы , и точку А на карте какой – либо местности. Ученики решают задачу.

Задача. Из пункта А выехал мотоциклист сос скоростью, равной длине вектора , и в направлении, совпадающем с напрвлением вектора . Через нас он свернул в направлении, совпадающем с направлением вектора , и со скоростью, равной длине вектора . Опрделелите расположение мотоциклиста на местности через 2 ч пути.

Учитель определяет тему и цель урока

V . Работа по теме урока

1. Ввести понятие суммы двух векторов (правило треуольника).

2. Законы сложения векторов:
а) переместительный закон: + = + ;
б) сочетательный закон ( + ) + = + + ).

3. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

IV . Закрепление изученного материала

1. Решить задание №1

Задание № 1
Используя правило треугольника, найдите сумму векторов:
а) и ; в) и ;
б) и ; г) и .

Решение:
а) + = ;
б) + = = ;
в) + = + = ;
г) + = + = .

2. Самостоятельное решеие задач.
Решить задание №2 с последующим объяснением.

Задание № 2
Используя правило треугольника, постройте векторы = + и = + . Определите вид четырёхугольника ОАВС.

Решение:
Отложим от точки О вектор = и от точки М – вектор
= (рис. 1), тогда = + .
Аналогично строим = и = , тогда = + .
Так как = + и = + , то = . Следовательно,
ОА СВ и ОА = СВ, поэтому четырёхугольник
ОАВС – параллелограмм. Рис. 1

Ответ: Четырёхугольник ОАВС – параллелограмм.

3. Разобрать решение задачи № 759 (а).
4. Решить самостоятельно задачи № 754, 762 (а,б,в).

VII . Рефлексия учебной деятельности

1. В чём заключатеся правило сложения векторов (правило треугольника)?
2. Сформулируйте законы сложения векторов.
3. В чём заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?

VIII . Анонсирование домашнего задания

2. Решить задачи № 753, 759 (б).

IX . Подведение итогов урока

Источник