В чем заключается сущность сопряжения прямой и дуги
Сопряжения
В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.
Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.
Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.
Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений.
Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)
Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)
В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.
Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)
Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.
Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)
Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.
Сопряжение параллельных прямых линий
Построим сопряжение двух параллельных прямых. Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.
Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией
Внешнее сопряжение дуги и прямой линии
В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.
Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой
Из центра сопряжения(точка О r ) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.
Сопряжение окружностей (дуг)
Внешнее сопряжение дуг окружностей
Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1( радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.
Внутреннее сопряжение дуг окружностей
Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.
Смешанное сопряжение дуг окружностей
Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.
Сопряжение дуг с дугами
Внешнее сопряжение дуг
При внешнем сопряжении центры О1 и О2 сопрягаемых дуг радиусов R1 и R2 лежат вне сопрягающей дуги радиуса R.
Внешнее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:
Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R1+R и R2+R соответственно концентричных окружностям с радиусами R1 и R2;
Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О1 и О2, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;
Внутреннее сопряжение дуг
При внутреннем сопряжении центры О1 и О2 сопрягаемых дуг радиусов R1 и R2 лежат внутри сопрягающей дуги радиуса R.
Внутреннее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:
Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 соответственно концентричных окружностям с радиусами R1 и R2;
Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О1 и О2, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;
Смешанное сопряжение дуг
При смешанном сопряжении центр О2 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О1 другой сопрягаемой дуги вне ее.
Внутреннее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:
Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R-R2 соответственно концентричных окружностям с радиусами R1 и R2;
Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О1 и О2, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;
В чем заключается сущность сопряжения прямой и дуги
§ 9. Сопряжения
Плавный переход прямой линии в дугу или одной дуги в другую называют сопряжением. Для построения сопряжения надо найти центры, из которых проводят дуги, т. е. центры сопряжений (рис. 63). Затем нужно найти точки, в которых одна линия переходит в другую, т. е. точки сопряжений. При построении контура изображения сопрягающиеся линии нужно доводить точно до этих точек. Точка сопряжения лежит на перпендикуляре, опущенном из центра О дуги на сопрягаемую прямую (рис. 64, а), или на линии О1О2, соединяющей центры сопрягаемых дуг (рис. 64, б). Следовательно, для построения любого сопряжения дугой заданного радиуса нужно найти центр сопряжения и точку сопряжения.
Рис. 63. Элементы сопряжений
Рис. 64. Определение точки сопряжения
Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса. Даны пересекающиеся под прямым, острым и тупым углами прямые линии (рис. 65, а). Нужно построить сопряжения этих прямых дугой заданного радиуса R.
Для всех трех случаев применяют общий способ построения.
Для построения прямых, параллельных сторонам угла, из произвольных точек, взятых на прямых, раствором циркуля, равным R, делают засечки и к ним проводят касательные.
2. Находят точки сопряжений (рис. 65, в). Для этого опускают перпендикуляры из точки О на заданные прямые.
3. Из точки О, как из центра, описывают дугу заданного радиуса R между точками сопряжений (рис. 65, в).
Рис. 65. Сопряжение двух пересекающихся прямых
Сопряжение двух параллельных прямых. Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения т (рис. 66, а). Требуется построить сопряжение.
Построение выполняют следующим образом:
1. Находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 66, б). Для этого из точки m на одной прямой восставляют перпендикуляр до пересечения с другой прямой в точке п. Отрезок делят пополам (см. рис. 56).
Рис. 66. Сопряжение двух параллельных прямых
Проведение касательной к окружности. Задана окружность с центром О и точка А (рис. 67, а). Требуется провести из точки А касательную к окружности.
1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.
Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 67, а). Чтобы найти центр О1 делят отрезок ОА пополам (см. рис. 56).
Рис. 67. Построение касательной к двум окружностям
Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Заданы две окружности радиусом R и R1. Требуется построить касательную к ним.
Различают два случая касания: внешнее (рис. 68, б) и внутреннее (рис. 68, в).
При внешнем касании построение выполняют следующим образом:
2. Радиус, проведенный из точки О в точку n, продолжают до пересечения в точке m с заданной окружностью радиусом R. Параллельно радиусу Оm проводят радиус 01р меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений m и р,- касательная к заданным окружностям (рис. 68, б).
При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R1 (см. рис. 68, в). Затем из центра O1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 67). Точку n соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу On проводят радиус O1р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений m и р.
Рис. 68. Построение касательной к окружности
Сопряжение дуги и прямой линии дугой заданного радиуса. Заданы дуга окружности радиусом R и прямая. Требуется соединить их дугой радиусом R1.
1. Находят центр сопряжения (рис. 69, а), который должен находиться на расстоянии R1 от дуги и от прямой. Такому условию соответствует точка пересечения прямой линии, параллельной заданной прямой, проходящей от нее на расстоянии R1, и вспомогательной дуги, отстоящей от заданной также на расстоянии R1. Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R1 (рис. 69, а). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R1, описывают из центра О дугу до пересечения с вспомогательной прямой. Полученная точка O1— центр сопряжения.
2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 69, б). Соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O1 и О. Опускают из центра сопряжения O1 перпендикуляр на заданную прямую.
3. Из центра сопряжения O1 между точками сопряжения m и n проводят дугу, радиус которой равен R 1 (см. рис. 69, б).
Рис. 69. Сопряжение дуги окружности и прямой
Сопряжение двух дуг окружности дугой заданного радиуса. Заданы две дуги радиусами R1 и R2. Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.
Различают два случая касания: внешнее (рис. 70, б) и внутреннее (рис. 70, в). В обоих случаях центры сопряжений должны быгь расположены на расстоянии, равном радиусу дуги сопряжения, от заданных дуг. По общему правилу на прямых, соединяющих центры сопрягаемых дуг, находят точки сопряжения.
Ниже приведен порядок построения для внешнего и внутреннего касаний.
2. Соединив прямыми точку O1 с точкой O3 и точку O2 с точкой O3, находят точки сопряжения m и n (см. рис. 70, б),
3. Из точки О3 раствором циркуля, равным R3, между точками m и n описывают сопрягающую дугу.
Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов сопрягающей и заданной дуг, т.е. R4-R1 и R4-R2. Точки сопряжения р и k лежат на продолжении линий, соединяющих точку О4 с точками O1 и O2.
Рис. 70. Сопряжение двух дуг окружности
Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами
Содержание:
В очертаниях технических форм часто встречаются плавные переходы от од- ной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую, выполненный при помощи промежуточной линии, называется сопряжением. Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.
Точка касания К и центры окружностей 
Для выполнения сопряжений необходимо определить три элемента построения: 1) радиус сопряжения; 2) центр сопряжения; 3) точки сопряжения.
Сопряжение двух пересекающихся прямых линий
Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 12). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.
Выполним следующие построения:
Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.
Сопряжения прямой с окружностью
Сопряжение прямой с окружностью может быть внешним или внутренним. Рассмотрим построение внешнего сопряжения прямой с окружностью.
Пример 1. Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке 
и прямая m. Требуется построить сопряжение окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 13).
Для решения задачи выполним следующие построения:
Пример 2. При построении внутреннего сопряжения (рис. 14) последовательность построений остается та же, что и в примере 1. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра 
, радиусом 
Сопряжение двух окружностей
Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.
Пример 1. Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами 
дугой заданного радиуса R (рис. 15а).
Пример 2. Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами 
дугой радиусом R (рис. 15б).
Пример 3. На рис. 16 приведен пример построения сопряжения с внешне- внутренним касанием.
Построение касательных
Пример 1. Дана окружность с центром в точке 
и точка 
вне её. Через данную точку 
провести касательную к данной окружности (рис. 17).
Для решения задачи выполним следующие построения.
Пример 2. Построим общую касательную АВ к двум заданным окружностям радиусов 
(рис. 18).
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Лекция по теме «Сопряжения»
При касании двух окружностей между собой точка касания А является их общей точкой. Она находится на пересечении окружностей с прямой, проходящей через центры касающихся окружностей.
Рис. 1 Сопряжения окружностей дугами
окружностей. Плавный переход от одной дуги к другой достигается при том условии, когда точка их касания расположена на прямой, соединяющей центры этих окружностей.
В этом случае мы также сталкиваемся с различными вариантами.
Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой окружности может быть внешнее и внутреннее.
Внешним называется сопряжение, когда сопрягаемые окружности остаются вне сопрягающей дуги.
Рис. 2 Внешнее сопряжение. (Рис. 3).
Центр сопрягающей дуги должен быть равно удален от заданных дуг окружностей на расстояние R. Поэтому проводим вспомогательные дуги из центра О 1 радиусом R 1 +R, а из центра О 2 радиусом R 2 +R до взаимного их пересечения в искомом центре сопрягающей дуги. Для
Рис. 3 определения точек касания (сопряжения)
1 и 2 проводим прямые, соединяющие
центры окружностей О 1 и О 2 с найденным центром сопрягающей дуги. В заключение радиусом R проводим сопрягающую дугу между точками 1 и 2.
Внутреннее сопряжение. (Рис. 4).
Сопрягаемые окружности находятся внутри сопрягающей дуги.
Из полученного центра проводим пря-
Рис. 4 мые через центры О 1 и О2 для определения точек сопряжения 1 и 2, между
Сложное сопряжение. (Рис. 5).
Приводим построение к известному:
Рис. 5 из центра О 1 радиусом R-R 1 делаем засечку, из центра О2 радиусом R+R 2
до их взаимного пересечения, который является центром сопрягающей дуги.
Из полученного центра проводим прямые через центры О 1 и О2 для определения точек сопряжения 1 и 2, между которыми очерчиваем сопрягающую дугу радиусом R.
Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами окружностей.
Дано: две параллельные прямые МН и PF с точками сопряжения на них А и В. На прямой АВ задается точка касания С сопрягающих дуг окружностей. Их центры и размеры радиусов определяем, строя перпендикуляры из точек касания А и В. Затем восставляем перпендикуляры в серединах отрезков АС и СВ, на которых в точках пересечения находим центры сопрягающих
дуг. Линия, соединяющая центры двух
Рис. 6 дуг, должна пройти через точку С (как
контроль графического построения).
Сопряжение дуги окружности с прямой линией дугой заданного радиуса.
Дано: прямая АВ, дуга окружности радиуса R 1 и радиус R. Проведем вспомогательную линию, параллельную АВ, на расстоянии R.
Зная, что центр сопрягающей дуги должен отстоять от заданной прямой и дуги окружности радиуса R 1 на равное расстояние, проведем вспомогательную линию, параллельную АВ, на расстоянии R, а из центра О 1 вспомогательную дугу
Рис. 7 радиусом R1+R. В их пересечении нахо-
Для нахождения точек сопряжения проведем прямую, соединяющую центры О 1 и О 2 (найдем точку 1), и опустим перпендикуляр из О 2 на прямую АВ (найдем точку 2).
Из точки О 2 опишем сопрягающую дугу радиусом R от точки 1 до точки 2.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.