Алгоритм это что означает в математике

Презентация к уроку

Цель урока: Формирования у учащихся правильного понимания алгоритмов, их свойств, видов и практических навыков составления алгоритмов.

Задачи урока:

Дидактические: Обеспечить условия:

Воспитательные: Обеспечить условия:

Развивающие: Обеспечить условия:

Демонстрационный материал к уроку:

Ход урока

Понятие алгоритма

Появление алгоритмов связывают с зарождением математики.

Более 1000 лет назад (825 г.)ученый из города Хорезма Абдулла (или Абу Ждафар) Мухаммед бен Мусса аль-Хорезми создал книгу по математике, в тором описал способы выполнения арифметических действий над многозначными числами.

Алгоритм – описание последовательности действий, исполнение которых приводит к решению поставленной задачи за конечное число шагов.

Алгоритм — понятное и точное предписание исполнителю выполнить конечную последовательность команд, приводящих от исходных данных к искомому результату.

Свойства алгоритма

Словесный способ записи алгоритмов представляет собой описание последовательных этапов обработки данных. Алгоритм задается в произвольном изложении на естественном языке.

Пример: Алгоритм «Зарядка»

При словесно-формульном способе алгоритм записывается в виде текста с формулами по пунктам, определяющим последовательность действий.

Пусть, например, необходимо найти значение следующего выражения:

Словесно-формульным способом алгоритм решения этой задачи может быть записан в следующем виде:

При графическом представлении алгоритм изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков, каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий.

Виды алгоритма

Линейный алгоритм – это такой, в котором все операции выполняются

последовательно одна за другой.

Пример: Алгоритм посадки дерева.

Разветвляющийся алгоритм – это алгоритм в котором выполняется либо одна, либо другая группа действий в зависимости от истинности или ложности условия.

Полная форма

Неполная форма

Пример: Если на улице дождь, то останемся дома, а если нет то идем гулять.

Циклический алгоритм – действия повторяются до тех пор, пока выполняется заданное условие.

Цикл с известным числом повторений

Цикл с известным числом повторений часто называют «циклом ДЛЯ»

Пример: Алгоритм «Упражнение для глаз»

Цикл с постусловием

Цикл с неизвестным числом повторений, в тором выход из цикла осуществляется при выполнении условия, принято называть «циклом с постусловием» или «циклом ПРИ»

Цикл с предусловием

Цикл с известным числом повторений, в котором цикл продолжается, пока выполняется условие, принято называть «циклом с предусловием» или «циклом ПОКА»

Источник

Алгоритм

Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Это связано с тем, что работа каких-то инструкций алгоритма может быть зависима от других инструкций или результатов их работы. Таким образом, некоторые инструкции должны выполняться строго после завершения работы инструкций, от которых они зависят. Независимые инструкции или инструкции, ставшие независимыми из-за завершения работы инструкций, от которых они зависят, могут выполняться в произвольном порядке, параллельно или одновременно, если это позволяют используемые процессор и операционная система.

Ранее часто писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко, но, тем не менее, имеет место (например, Нормальный алгорифм Маркова).

Часто в качестве исполнителя выступает некоторый механизм (компьютер, токарный станок, швейная машина), но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам, так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом, в таком случае исполнителем является человек.

Понятие алгоритма относится к первоначальным, основным, базисным понятиям математики. Вычислительные процессы алгоритмического характера (арифметические действия над целыми числами, нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и т. д.) известны человечеству с глубокой древности. Однако, в явном виде понятие алгоритма сформировалось лишь в начале XX века.

Частичная формализация понятия алгоритма началась с попыток решения проблемы разрешения (нем. Entscheidungsproblem ), которую сформулировал Давид Гильберт в 1928 году. Следующие этапы формализации были необходимы для определения эффективных вычислений [1] или «эффективного метода» [2] ; среди таких формализаций — рекурсивные функции Геделя — Эрбрана — Клини 1930, 1934 и 1935 гг., λ-исчисление Алонзо Чёрча 1936 г., «Формулировка 1» Эмиля Поста 1936 года и машина Тьюринга. В методологии алгоритм является базисным понятием и получает качественно новое понятие как оптимальности по мере приближения к прогнозируемому абсолюту. В современном мире алгоритм в формализованном выражении составляет основу образования на примерах, по подобию. На основе сходства алгоритмов различных сфер деятельности была сформирована концепция (теория) экспертных систем.

Содержание

История термина

Современное формальное определение алгоритма было дано в 30—50-е годы XX века в работах Тьюринга, Поста, Чёрча (тезис Чёрча — Тьюринга), Н. Винера, А. А. Маркова.

Само слово «алгоритм» происходит от имени хорезмского учёного Абу Абдуллах Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (алгоритм — аль-Хорезми). Около 825 года он написал сочинение, в котором впервые дал описание придуманной в Индии позиционной десятичной системы счисления. К сожалению, персидский оригинал книги не сохранился. Аль-Хорезми сформулировал правила вычислений в новой системе и, вероятно, впервые использовал цифру 0 для обозначения пропущенной позиции в записи числа (её индийское название арабы перевели как as-sifr или просто sifr, отсюда такие слова, как «цифра» и «шифр»). Приблизительно в это же время индийские цифры начали применять и другие арабские учёные. В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу. Переводчик, имя которого до нас не дошло, дал ей название Algoritmi de numero Indorum («Алгоритмы о счёте индийском»). По-арабски же книга именовалась Китаб аль-джебр валь-мукабала («Книга о сложении и вычитании»). Из оригинального названия книги происходит слово Алгебра (алгебра — аль-джебр — восполнение).

Таким образом, мы видим, что латинизированное имя среднеазиатского учёного было вынесено в заглавие книги, и сегодня считается, что слово «алгоритм» попало в европейские языки именно благодаря этому сочинению. Однако вопрос о его смысле длительное время вызывал ожесточённые споры. На протяжении многих веков происхождению слова давались самые разные объяснения.

Одни выводили algorism из греческих algiros (больной) и arithmos (число). Из такого объяснения не очень ясно, почему числа именно «больные». Или же лингвистам больными казались люди, имеющие несчастье заниматься вычислениями? Своё объяснение предлагал и энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. В нём алгорифм (кстати, до революции использовалось написание алгориѳм, через фиту) производится «от арабского слова Аль-Горетм, то есть корень». Разумеется, эти объяснения вряд ли можно счесть убедительными.

Упомянутый выше перевод сочинения аль-Хорезми стал первой ласточкой, и в течение нескольких следующих столетий появилось множество других трудов, посвящённых всё тому же вопросу — обучению искусству счёта с помощью цифр. И все они в названии имели слово algoritmi или algorismi.

Про аль-Хорезми позднейшие авторы ничего не знали, но поскольку первый перевод книги начинается словами: «Dixit algorizmi: …» («Аль-Хорезми говорил: …»), всё ещё связывали это слово с именем конкретного человека. Очень распространённой была версия о греческом происхождении книги. В англо-норманнской рукописи XIII века, написанной в стихах, читаем:

Алгоризм был придуман в Греции. Это часть арифметики. Придуман он был мастером по имени Алгоризм, который дал ему своё имя. И поскольку его звали Алгоризм, Он назвал свою книгу «Алгоризм».

Около 1250 года английский астроном и математик Иоанн Сакробоско написал труд по арифметике Algorismus vulgaris, на столетия ставший основным учебником по вычислениям в десятичной позиционной системе счисления во многих европейских университетах. Во введении Сакробоско назвал автором науки о счёте мудреца по имени Алгус (Algus). А в популярной средневековой поэме «Роман о Розе» (1275—1280) Жана де Мена «греческий философ Алгус» ставится в один ряд с Платоном, Аристотелем, Евклидом и Птолемеем! Встречался также вариант написания имени Аргус (Argus). И хотя, согласно древнегреческой мифологии, корабль «Арго» был построен Ясоном, именно этому Арго приписывалось строительство корабля.

«Мастер Алгус» (или Аргус) стал в средневековой литературе олицетворением счётного искусства. И в уже упоминавшейся «Романе о розе», и в известной итальянской поэме «Цветок», написанной Дуранте, имеются фрагменты, в которых говорится, что даже «mestre Argus» не сумеет подсчитать, сколько раз ссорятся и мирятся влюблённые. Английский поэт Джефри Чосер в поэме «Книга герцогини» (1369 г.) пишет, что даже «славный счётчик Аргус» (noble countour Argu) не сможет счесть чудовищ, явившихся в кошмарных видениях герою.

Однако со временем такие объяснения всё менее занимали математиков, и слово algorism (или algorismus), неизменно присутствовавшее в названиях математических сочинений, обрело значение способа выполнения арифметических действий посредством арабских цифр, то есть на бумаге, без использования абака. Именно в таком значении оно вошло во многие европейские языки. Например, с пометкой «устар.» оно присутствует в представительном словаре английского языка Webster’s New World Dictionary, изданном в 1957 г.

Алгоритм — это искусство счёта с помощью цифр, но поначалу слово «цифра» относилось только к нулю. Знаменитый французский трувер Готье де Куанси (Gautier de Coincy, 1177—1236) в одном из стихотворений использовал слова algorismus-cipher (которые означали цифру 0) как метафору для характеристики абсолютно никчёмного человека. Очевидно, понимание такого образа требовало соответствующей подготовки слушателей, а это означает, что новая система счисления уже была им достаточно хорошо известна.

Многие века абак был фактически единственным средством для практичных вычислений, им пользовались и купцы, и менялы, и учёные. Достоинства вычислений на счётной доске разъяснял в своих сочинениях такой выдающийся мыслитель, как Герберт Аврилакский (938—1003), ставший в 999 г. папой римским под именем Сильвестра II. Новое с огромным трудом пробивало себе дорогу, и в историю математики вошло упорное противостояние лагерей алгорисмиков и абацистов (иногда называемых гербекистами), которые пропагандировали использование для вычислений абака вместо арабских цифр. Интересно, что известный французский математик Николя Шюке (Nicolas Chuquet, 1445—1488) в реестр налогоплательщиков города Лиона был вписан как алгорисмик (algoriste). Но прошло не одно столетие, прежде чем новый способ счёта окончательно утвердился, столько времени потребовалось, чтобы выработать общепризнанные обозначения, усовершенствовать и приспособить к записи на бумаге методы вычислений. В Западной Европе учителей арифметики вплоть до XVII века продолжали называть «магистрами абака», как, например, математика Никколо Тарталью (1500—1557).

Итак, сочинения по искусству счёта назывались Алгоритмами. Из многих сотен можно выделить и такие необычные, как написанный в стихах трактат Carmen de Algorismo (латинское carmen и означает стихи) Александра де Вилла Деи (Alexander de Villa Dei, ум. 1240) или учебник венского астронома и математика Георга Пурбаха (Georg Peurbach, 1423—1461) Opus algorismi jocundissimi («Веселейшее сочинение по алгоритму»).

Постепенно значение слова расширялось. Учёные начинали применять его не только к сугубо вычислительным, но и к другим математическим процедурам. Например, около 1360 г. французский философ Николай Орем (Nicolaus Oresme, 1323/25-1382) написал математический трактат Algorismus proportionum («Вычисление пропорций»), в котором впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. Когда же на смену абаку пришёл так называемый счёт на линиях, многочисленные руководства по нему стали называть Algorithmus linealis, то есть правила счёта на линиях.

Можно обратить внимание на то, что первоначальная форма algorismi спустя какое-то время потеряла последнюю букву, и слово приобрело более удобное для европейского произношения вид algorism. Позднее и оно, в свою очередь, подверглось искажению, скорее всего, связанному со словом arithmetic.

В 1684 году Готфрид Лейбниц в сочинении Nova Methodvs pro maximis et minimis, itemque tangentibus… впервые использовал слово «алгоритм» (Algorithmo) в ещё более широком смысле: как систематический способ решения проблем дифференциального исчисления.

В XVIII веке в одном из германских математических словарей, Vollstandiges mathematisches Lexicon (изданном в Лейпциге в 1747 г.), термин algorithmus всё ещё объясняется как понятие о четырёх арифметических операциях. Но такое значение не было единственным, ведь терминология математической науки в те времена ещё только формировалась. В частности, выражение algorithmus infinitesimalis применялось к способам выполнения действий с бесконечно малыми величинами. Пользовался словом алгоритм и Леонард Эйлер, одна из работ которого так и называется — «Использование нового алгоритма для решения проблемы Пелля» (De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo). Мы видим, что понимание Эйлером алгоритма как синонима способа решения задачи уже очень близко к современному.

Однако потребовалось ещё почти два столетия, чтобы все старинные значения слова вышли из употребления. Этот процесс можно проследить на примере проникновения слова «алгоритм» в русский язык.

Историки датируют 1691 годом один из списков древнерусского учебника арифметики, известного как «Счётная мудрость». Это сочинение известно во многих вариантах (самые ранние из них почти на сто лет старше) и восходит к ещё более древним рукописям XVI в. По ним можно проследить, как знание арабских цифр и правил действий с ними постепенно распространялось на Руси. Полное название этого учебника — «Сия книга, глаголемая по еллински и по гречески арифметика, а по немецки алгоризма, а по русски цифирная счётная мудрость».

Таким образом, слово «алгоритм» понималось первыми русскими математиками так же, как и в Западной Европе. Однако его не было ни в знаменитом словаре В. И. Даля, ни спустя сто лет в «Толковом словаре русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935 г.). Зато слово «алгорифм» можно найти и в популярном дореволюционном Энциклопедическом словаре братьев Гранат, и в первом издании Большой советской энциклопедии (БСЭ), изданном в 1926 г. И там, и там оно трактуется одинаково: как правило, по которому выполняется то или иное из четырёх арифметических действий в десятичной системе счисления. Однако к началу XX в. для математиков слово «алгоритм» уже означало любой арифметический или алгебраический процесс, выполняемый по строго определённым правилам, и это объяснение также даётся в следующих изданиях БСЭ.

Алгоритмы становились предметом всё более пристального внимания учёных, и постепенно это понятие заняло одно из центральных мест в современной математике. Что же касается людей, от математики далёких, то к началу сороковых годов это слово они могли услышать разве что во время учёбы в школе, в сочетании «алгоритм Евклида». Несмотря на это, алгоритм всё ещё воспринимался как термин сугубо специальный, что подтверждается отсутствием соответствующих статей в менее объёмных изданиях. В частности, его нет даже в десятитомной Малой советской энциклопедии (1957 г.), не говоря уже об однотомных энциклопедических словарях. Но зато спустя десять лет, в третьем издании Большой советской энциклопедии (1969 г.) алгоритм уже характеризуется как одна из основных категорий математики, «не обладающих формальным определением в терминах более простых понятий, и абстрагируемых непосредственно из опыта». Как мы видим, отличие даже от трактовки первым изданием БСЭ разительное! За сорок лет алгоритм превратился в одно из ключевых понятий математики, и признанием этого стало включение слова уже не в энциклопедии, а в словари. Например, оно присутствует в академическом «Словаре русского языка» (1981 г.) именно как термин из области математики.

Одновременно с развитием понятия алгоритма постепенно происходила и его экспансия из чистой математики в другие сферы. И начало ей положило появление компьютеров, благодаря которому слово «алгоритм» вошло в 1985 г. во все школьные учебники информатики и обрело новую жизнь. Вообще можно сказать, что его сегодняшняя известность напрямую связана со степенью распространения компьютеров. Например, в третьем томе «Детской энциклопедии» (1959 г.) о вычислительных машинах говорится немало, но они ещё не стали чем-то привычным и воспринимаются скорее как некий атрибут светлого, но достаточно далёкого будущего. Соответственно и алгоритмы ни разу не упоминаются на её страницах. Но уже в начале 70-х гг. прошлого столетия, когда компьютеры перестали быть экзотической диковинкой, слово «алгоритм» стремительно входит в обиход. Это чутко фиксируют энциклопедические издания. В «Энциклопедии кибернетики» (1974 г.) в статье «Алгоритм» он уже связывается с реализацией на вычислительных машинах, а в «Советской военной энциклопедии» (1976 г.) даже появляется отдельная статья «Алгоритм решения задачи на ЭВМ». За последние полтора-два десятилетия компьютер стал неотъемлемым атрибутом нашей жизни, компьютерная лексика становится всё более привычной. Слово «алгоритм» в наши дни известно, вероятно, каждому. Оно уверенно шагнуло даже в разговорную речь, и сегодня мы нередко встречаем в газетах и слышим в выступлениях политиков выражения вроде «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» или даже «алгоритм предательства». Академик Н. Н. Моисеев назвал свою книгу «Алгоритмы развития», а известный врач Н. М. Амосов — «Алгоритм здоровья» и «Алгоритмы разума». А это означает, что слово живёт, обогащаясь всё новыми значениями и смысловыми оттенками.

Определения алгоритма

Формальное определение

Разнообразные теоретические проблемы математики и ускорение развития физики и техники поставили на повестку дня точное определение понятия алгоритма.

Первые попытки уточнения понятия алгоритма и его исследования осуществляли в первой половине XX века Алан Тьюринг, Эмиль Пост, Жак Эрбран, Курт Гедель, А. А. Марков, Алонзо Чёрч. Было разработано несколько определений понятия алгоритма, но впоследствии было выяснено, что все они определяют одно и то же понятие (см. Тезис Чёрча — Тьюринга) [3]

Источник

Алгоритм

Из Википедии — свободной энциклопедии

Алгори́тм (лат. algorithmi — от имени среднеазиатского математика Аль-Хорезми [1] ) — конечная совокупность точно заданных правил решения некоторого класса задач или набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для решения определённой задачи. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Независимые инструкции могут выполняться в произвольном порядке, параллельно, если это позволяют используемые исполнители.

Ранее в русском языке писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко, но тем не менее имеет место исключение (нормальный алгорифм Маркова).

Часто в качестве исполнителя выступает компьютер, но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам, так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом, в таком случае исполнителем является человек (а может быть и некоторый механизм, например ткацкий или токарный станок с числовым управлением, и пр.).

Можно выделить алгоритмы вычислительные (далее речь в основном идёт о них), и управляющие. Вычислительные, по сути, преобразуют некоторые начальные данные в выходные, реализуя вычисление некоторой функции. Семантика управляющих алгоритмов существенным образом может отличаться и сводиться к выдаче необходимых управляющих воздействий либо в заданные моменты времени, либо в качестве реакции на внешние события (в этом случае, в отличие от вычислительного алгоритма, управляющий может оставаться корректным при бесконечном выполнении).

Понятие алгоритма относится к первоначальным, основным, базисным понятиям математики. Вычислительные процессы алгоритмического характера (арифметические действия над целыми числами, нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и т. д.) известны человечеству с глубокой древности. Однако в явном виде понятие алгоритма сформировалось лишь в начале XX века.

Частичная формализация понятия алгоритма началась с попыток решения проблемы разрешения (нем. Entscheidungsproblem ), которую сформулировал Давид Гильберт в 1928 году. Следующие этапы формализации были необходимы для определения эффективных вычислений [2] или «эффективного метода» [3] ; среди таких формализаций — рекурсивные функции Геделя — Эрбрана — Клини 1930, 1934 и 1935 гг., λ-исчисление Алонзо Чёрча 1936 г., «Формулировка 1» Эмиля Поста 1936 года и машина Тьюринга.

Источник

Что такое алгоритм

Содержание

Вступление [ править ]

Геометрия развивает геометрическое мышление, математика — абстрактное математическое, логика — логическое, физика — физическое… А какое мышление развивает информатика? Информатика есть наука, служащая информационным технологиям. Но фундаментальными достижениями этой науки оказались не сами технологии, а общие методы построения систем и решения сложных задач. Базисом этих методов являются алгоритмы и системный подход к решению задач. Поэтому информатика развивает алгоритмическое мышление и учит системному подходу к решению задач.

Сегодня мы познакомимся с понятиями алгоритма и исполнителя. Оказывается, не так-то просто понять, чем определяется сущность алгоритма.

Понятие алгоритма [ править ]

Запись алгоритма на формальном языке называется программой. Иногда само понятие алгоритма отождествляется с его записью, так что слова «алгоритм» и «программа» — почти синонимы. Небольшое различие заключается в том, что под алгоритмом, как правило, понимают основную идею его построения. Программа же всегда связана с записью алгоритма на конкретном формальном языке.

Приведём для примера простой алгоритм действия пешехода, который позволит ему безопасно перейти улицу:

Алгоритмы обладают свойством детерминированности (определённости): каждый шаг и переход от шага к шагу должны быть точно определены так, чтобы его мог выполнить любой другой человек или механическое устройство.

Кроме детерминированности, алгоритмы также должны обладать свойством конечности и массовости:

Конечность Алгоритм всегда должен заканчиваться за конечное число шагов, но это число не ограничено сверху. Массовость Алгоритм применяется к некоторому классу входных данных (чисел, пар чисел, набору букв и тому подобному). Не имеет смысла строить алгоритм нахождения наибольшего общего делителя только для одной пары чисел 10 и 15.

Операция суммирования бесконечного ряда не является элементарной ни для современных компьютеров, ни для человека, а если разложить эту операцию на отдельные шаги сложения, то получим бесконечное число шагов. Алгоритмы же по определению должны выполняться за конечное число шагов и через конечное число шагов предоставлять результат вычислений.

Понятие элементарных объектов и элементарных действий [ править ]

Указанный способ представления натуральных чисел в виде последовательности нулей и единиц называется двоичной записью числа. Каждому биту в этом представлении соответствует степень двойки. Самому правому биту соответствует 1 = 2 0 <\displaystyle 1=2^<0>> , второму справа — 2 = 2 1 <\displaystyle 2=2^<1>> , третьему справа — 4 = 2 2 <\displaystyle 4=2^<2>> , и так далее. Двоичная запись соответствует разложению числа в сумму неповторяющихся степеней двойки. Например:

Конечный набор элементарных объектов может принимать лишь конечное число значений. Так, например, упорядоченный набор 8 бит (один байт) имеет 256 возможных значений. Из этого простого факта следует очень важное утверждение: среди команд исполнителя не может быть команд сложения или умножения произвольных натуральных (действительных) чисел.

При изучении языка программирования, вы встретитесь с таким явлением, как переполнение — ситуация, когда результат элементарной арифметической операции выходит за пределы подмножества чисел, которые можно записать в выбранном машинном представлении.

У каждого исполнителя есть конечный набор элементарных команд (действий), оперирующих элементарными объектами, которых также конечное число.

Входом алгоритма является конечный набор элементарных объектов. Во время работы алгоритма выполняется конечное число элементарных действий и результат алгоритма также является конечным набором элементарных объектов.

В компьютерах элементарным объектом является бит. Есть несколько стандартных способов записи чисел (действительных, целых, и целых неотрицательных) в виде последовательности бит фиксированной длины.

Алгоритм входным данным сопоставляет выходные данные и этим он чем-то похож на обыкновенную функцию. Но главной особенностью алгоритма является то, что он содержит описание того, как это сделать. Функция может быть задана неявно, а алгоритм — нет. Алгоритм описывает, что нужно сделать с входными данными, чтобы получить результат. При этом предполагается, что инструкции алгоритма выполняет исполнитель с ограниченными способностями: собственная память исполнителя конечна, также конечен и чётко зафиксирован набор инструкций, которые он может исполнять. В большинстве классических исполнителей присутствует внешняя память, которая в принципе не ограничена. Например у человека под рукой есть сколь угодно много листов бумаги, уложенных в бесконечный ряд (ячеек памяти), которые он может использовать. Заметьте, что информация о том, что на каком листке записано в какой-то момент может не поместиться в конечную память исполнителя и эту информацию ему также нужно будет записывать на листах.

Способы записи алгоритмов [ править ]

Алгоритмы можно описывать человеческим языком — словами. Так и в математике — все теоремы и утверждения можно записывать без специальных обозначений. Но специальный формальный язык записи утверждений сильно облегчает жизнь математикам: исчезает неоднозначность, появляются краткость и ясность изложения. Всё это позволяет математикам говорить и писать на одном языке и лучше понимать друг друга.

Большинство используемых в программировании алгоритмических языков имеют общие черты. В то же время, не всегда целесообразно пользоваться каким-либо конкретным языком программирования и загромождать изложение несущественными деталями. Здесь мы будем использовать псевдокод, который похож на язык Pascal, но не является таким строгим.

Разницу между программой и алгоритмом можно пояснить следующим образом. Алгоритм — это метод, схема решения какой-то задачи. А программа — это конкретная реализация алгоритма, которая может быть скомпилирована и выполнена на компьютере. Алгоритм, в свою очередь, является реализацией идеи решения. Это можно проиллюстрировать следующей схемой:

Идея решения → Алгоритм → Программа

Стрелка означает переход к следующему этапу решения задачи с повышением уровня подробности описания метода решения.

Алгоритм Евклида [ править ]

Запишем этот алгоритм с помощью псевдокода.

Псевдокод 1. Алгоритм Евклида

Инструкция return a означает «вернуть как результат вычислений объект a ».

Алгоритм вычисления чисел Фибоначчи [ править ]

В математике для описания функций часто используются рекуррентные соотношения, в которых значение функции определяется через её значение при других (обычно меньших) аргументах. Наиболее известным примером является последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, определяемая следующими соотношениями:

Используя это рекуррентное соотношение, можно построить рекурсивный алгоритм вычисления чисел Фибоначчи:

Псевдокод 2. Числа Фибоначчи

Наибольший интерес в этом алгоритме представляет строчка 5:

Рис. 1. Дерево рекурсивных вызовов для F 6 <\displaystyle F_<6>> .

На рисунке 1 изображено дерево рекурсивных вызовов, возникающее при вычислении F 6 <\displaystyle F_<6>> . Это дерево демонстрирует как функция сама себя использует при вычислении. Например, при вычислении F 6 <\displaystyle F_<6>> были вызваны функции вычисления F 5 <\displaystyle F_<5>> и F 4 <\displaystyle F_<4>> . Для вычисления F 5 <\displaystyle F_<5>> понадобились F 4 <\displaystyle F_<4>> и F 3 <\displaystyle F_<3>> , и так далее.

Для того, чтобы рекурсивный алгоритм заканчивал свою работу, необходимо, чтобы дерево рекурсивных вызовов при любых входных данных обрывалось и было конечным. В данном примере дерево рекурсивных вызовов обрывается на F 1 <\displaystyle F_<1>> и F 2 <\displaystyle F_<2>> , для вычисления которых не используются рекурсивные вызовы.

Сколько раз вызывались вычисления F 2 <\displaystyle F_<2>> и F 1 <\displaystyle F_<1>> при вычислении F 6 <\displaystyle F_<6>> ? Нарисуйте дерево рекурсивных вызовов для F 7 <\displaystyle F_<7>> и определите, сколько раз будут вызваны F 1 <\displaystyle F_<1>> и F 2 <\displaystyle F_<2>> . Найдите общую формулу для числа вызовов F 1 <\displaystyle F_<1>> и F 2 <\displaystyle F_<2>> при вычислении F n <\displaystyle F_> .

Но это не значит, что использовать рекурсию не надо. Рекурсия очень важный и удобный инструмент программирования. С помощью рекурсии успешно реализуют важный подход к решению задач: разделяй и властвуй.

Лучший способ решить сложную задачу — это разделить её на несколько простых и «разделаться» с ними по отдельности. По сути, это один из важных инструментов мышления при решении задач.

Псевдокод 3. Числа Фибоначчи: нерекурсивный алгоритм

От экспоненциального роста времени вычисления рекурсивных алгоритмов легко избавится с помощью запоминания вычисленных значений. А именно, в памяти хранят вычисленные значения, а в начале функции помещается проверка на то, что требуемое значение уже вычислено и хранится в памяти. Если это так, то это значение возвращается как результат, а вычисления и рекурсивные вызовы осуществляются лишь в том случае, когда функция с такими аргументами ещё ни разу не вызывалась. Подробнее этот метод мы рассмотрим при изучении динамического программирования.

Задача «Ханойские башни» [ править ]

Рассмотрим ещё один классический пример на рекурсивные алгоритмы — игру «Ханойские башни», придуманную ещё в 1883 году Эдуардом Люка. Есть три стержня и 64 кольца́, нанизанных на них. В начале все ко́льца находятся на первом стержне, причём все ко́льца разного диаметра, и меньшие ко́льца лежат на бо́льших. За ход разрешается взять верхнее кольцо с любого стержня и положить на другой стержень сверху, при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Цель игры состоит в том, чтобы переместить всю пирамиду с первого стержня на второй.

Псевдокод 4. Ханойские башни

Задачу «Xанойские башни» можно значительно усложнить.

Дано четыре стержня. На одном из них 64 кольца́, размеры которых увеличиваются от верхнего к нижнему. Следуя правилам задачи «Ханойские башни» необходимо переместить их на второй стержень. Напишите программу, которая находит минимальное необходимое число операций перекладывания одного кольца́.

Примеры простых алгоритмических задач [ править ]

Здесь мы сформулируем несколько простых алгоритмических задач, которые полезно прорешать, чтобы освоится с понятием алгоритма.

Разработайте алгоритм вычисления числа F 1000 <\displaystyle F_<1000>> и реализуйте его в виде программы на языке Паскаль, Си или любом другом языке программирования. Сколько цифр в десятичной записи этого числа?

Дано множество прямых на плоскости, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Напишите рекурсивный алгоритм (псевдокод) закраски получившихся многоугольников в чёрный и белый цвета так, чтобы многоугольники одного цвета не имели общей стороны.

Рассмотрим следующее рекуррентное соотношение для функции f ( n ) = a n <\displaystyle >> :

Чем отличается алгоритм от функции?

Чем отличается программа от алгоритма?

В чём разница между идеей решения и алгоритмом решения задачи?

Источник