Как называется спираль в математике

15.10.202315.07.2022 admin 0 Comments

Спираль

В математике, спираль — это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой.

Содержание

Двумерные спирали

Двумерную спираль можно описать в полярных координатах, определив радиус r как непрерывную монотонную функцию от угла θ. Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (функция не строго монотонна, а является константой).

Некоторые из наиболее важных типов двумерных спиралей:

Трёхмерные спирали

Для простых трёхмерных спиралей третья переменная h — также непрерывная монотонная функция от θ. Например, коническая винтовая линия может быть определена как спираль на конической поверхности с расстоянием от вершины как экспоненциальной функцией от θ.

Для сложных трёхмерных спиралей, как, например, сферическая спираль, h возрастает с ростом θ с одной стороны от точки и убывает — с другой.

Сферическая спираль

Сферическая спираль (локсодрома) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.

Тела, имеющие форму спирали

Литература

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Спираль» в других словарях:

СПИРАЛЬ — (ново лат., от лат. spira изгиб, извив змеи). Улиткообразная или винтообразная линия; линия, в круг расходящаяся от центра или сходящаяся к нему. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. СПИРАЛЬ завитая… … Словарь иностранных слов русского языка

спираль — и, ж. spirale f. <лат. spiralis < spira виток. 1. Линия, делающая ряд закономерно изменяющихся оборотов вокруг точки или оси. БАС 1. Он старался объяснить Яше, почему спираль, а не другая линия изображает какую то трансцендентальную функцию … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Спираль — 18. Присоединительная арматура Совокупность деталей, герметично и прочно соединенных с трубкой в оплетке, и предназначенная для разъемного или неразъемного соединения рукава с трубопроводами или агрегатами Источник: ОСТ 1 02523 84: Рукава… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

СПИРАЛЬ — 1. СПИРАЛЬ1, спирали, жен. (от греч. speira завиток) (мат.). Незамкнутая кривая, которая постепенно удаляется от точки отправления, образуя вокруг нее бесконечное число оборотов. 2. СПИРАЛЬ2, спирали, мн. нет, жен. (шуточное осмысление слова… … Толковый словарь Ушакова

СПИРАЛЬ — СПИРАЛЬ, спиральная черта, черта обвоем на плоскости, как свитая пружина, сувой; | винт, винтом, винтовая, обвоем, завойная; | улиткой, винт, или завой раструбом, вир. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

спираль — завиток; проволока, пружина, спиралька, геликоприон, кривая Словарь русских синонимов. спираль сущ., кол во синонимов: 9 • геликоприон (1) • … Словарь синонимов

спираль — Спираль. спираль (первоисточник: греч. spéira виток) фигура пилотажа: движение летательного аппарата по отвесной винтовой линии (см. рис.). Может быть восходящей и нисходящей. С., при выполнении которой скорость, крен, угол наклона… … Энциклопедия «Авиация»

СПИРАЛЬ — СПИРАЛЬ, линия, образуемая точкой, движущейся одновременно по кругу и радиусу окружности (либо к центру, либо от центра) или по поверхности конуса либо ЦИЛИНДРА, как в намотанной пружине или резьбе болта … Научно-технический энциклопедический словарь

СПИРАЛЬ — СПИРАЛЬ, и, жен. 1. Винтообразная кривая, образующая ряд оборотов вокруг точки или оси. По спирали (винтообразно). 2. Проволока, пружина или другой предмет в форме такой кривой. | уменьш. спиралька, и, жен. (ко 2 знач.). | прил. спиральный, ая,… … Толковый словарь Ожегова

Источник

Спираль Фибоначчи. Число «фи»

Даже истинные мнения стоят немногого,
пока кто-нибудь не соединит их связью причинного рассуждения.

Начать разработку этого материала мне помогла книга Д.Брауна «Код да Винчи». В качестве кода герой книги использует несколько чисел из ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Я нашел дополнительный материал по этой теме [1] и [2]. В итоге многие мои разработки уроков пополнились.

Например, первый урок математики в пятом классе по теме: «Обозначение натуральных чисел». Говоря о бесконечной последовательности натуральных чисел, я отметил наличие других рядов, например, ряда Фибоначчи и ряда «треугольных чисел»: 1, 3, 6, 10, …

В восьмом классе при изучении иррациональных чисел, наряду с числом «пи», я привожу число «фи» (Ф=1,618…). (У Д. Брауна это число называют «пфи», что, считает автор, даже круче «пи»). Я прошу учеников загадать два числа, а затем образовать ряд по «принципу» ряда Фибоначчи. Каждый рассчитывает свою последовательность до десятого члена. Например, 7 и 13. Построим последовательность: 7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, 225, 364, 589, … Уже при делении девятого члена на восьмой появляется число Фибоначчи.

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.

До эпохи Возрождения было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император Священной Римской империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей. Встреча между Фибоначчи и Фредериком II произошла в 1225 году и была событием большой важности для города Пизы. Император ехал верхом во главе длинной процессии трубачей, придворных, рыцарей, чиновников и бродячего зверинца животных. Некоторые проблемы, которые Император поставил перед знаменитым математиком, подробно изложены в Книге абака. Фибоначчи, очевидно, решил проблемы, поставленные Императором, и навсегда стал желанным гостем при Королевском дворе. Когда Фибоначчи перерабатывал Книгу абака в 1228 году, он посвятил исправленную редакцию Фредерику II. Всего он написал три значительных математических труда: Книга абака, опубликованная в 1202 году и переизданная в 1228 году, Практическая геометрия, опубликованная в 1220 году, и Книга квадратур. По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта. Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был «рассудительный и эрудированный человек», а не так давно Жозеф Гиз, главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена «будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира».

Наибольший интерес представляет для нас сочинение «Kнига абака». Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

Материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.

В данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.»

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk, то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом: Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Kеплеp назвал это соотношение одним из сокровищ геометрии. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой «фи» (Ф=1.618033989…).

Ниже приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По меpе нашего пpодвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим пpиближением к недостижимому «фи». Kолебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаpужим в Волновой теоpии Эллиотта, где они описываются Пpавилом чеpедования. Следует обратить внимание, что в природе встречается именно приближение к числу «фи», тогда как математика оперирует с «чистым» значением. Его ввел Леонардо да Винчи и назвал «золотым сечением» (золотая пропорция). Cpеди его совpеменных названий есть и такие, как «золотое среднее» и «отношение вертящихся квадратов». Золотая пропорция – это деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей части ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ, то есть: АВ:ВС=АС:АВ=Ф (точное иррациональное число «фи»).

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382.

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Более наглядное представление можно получить, изучая спирали в природе и произведениях искусства. Сакральная геометрия исследует два вида спиралей: спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи. Сравнение этих спиралей позволяет сделать следующий вывод. Спираль золотого сечения идеальна: у нет начала и нет конца, она продолжается бесконечно. В отличии от нее спираль Фибоначчи имеет начало. Все природные спирали – это спирали Фибоначчи, а в произведениях искусства используются обе спирали, иногда одновременно.

Перевернутая пентаграмма изливает энергию в Землю и, следовательно, является символы материалистических тенденций, тогда как обычная пентаграмма направляет энергию вверх, являясь, таким образом, духовной. В одном все согласны: пентаграмма, безусловно, представляет «духовную форму» человеческой фигуры.

Обратите внимание CF:FH=CH:CF=AC:CH=1,618. Действительные пропорции этого символа основаны на священной пропорции, называемой золотым сечением: это такое положение точки на любой проведенной линии, когда она делит линию так, что меньшая часть находится в том же соотношении к большей части, что и большая часть к целому. Кроме того, правильный пятиугольник в центре позволяет утверждать, что пропорции сохраняются и для бесконечно малых пятиугольников. Эта «божественная пропорция» проявляется в каждом отдельном луче пентаграммы и помогает объяснить тот трепет, с которым математики во все времена взирали на этот символ. Причем, если сторона пятиугольника равна единице, то диагональ равна 1,618.

Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.

Ученые обнаружили, что три пирамиды в Гизе выстроены по спирали. В 1980-е годы было установлено, что там присутствуют и золотосеченная спираль и спираль Фибоначчи.

Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Площадь тpеугольника
356 x 440 / 2 = 78320
Площадь квадpата
280 x 280 = 78400

Hе только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего пpоисхождения.

В 19 веке ученые заметили, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. «упакованы» по двойным спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа «правых» и «левых» спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34). Многочисленные примеры двойных спиралей, встречающихся повсюду в природе, всегда соответствуют этому правилу.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

В любой хорошей книге в качестве примера показывают раковину наутилуса. Причем во многих изданиях сказано, что это спираль золотого сечения, но это неверно – это спираль Фибоначчи. Можно увидеть совершенство рукавов спирали, но если посмотреть на начало, то он не выглядит таким совершенным. Два самых внутренних ее изгиба фактически равны. Второй и третий изгибы чуть ближе приближаются к фи. Потом, наконец, получается эта изящная плавная спираль. Вспомните отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее. Будет понятно, что моллюск точно следует математике ряда Фибоначчи.

Друнвало Мелхиседек в книге «Древняя тайна Цветка Жизни» пишет: «Да Винчи вычислил, что, если нарисовать квадрат вокруг тела, потом провести диагональ от ступней до кончиков вытянутых пальцев, а затем провести параллельную горизонтальную линию (вторую из этих параллельных линий) от пупка к стороне квадрата, то эта горизонтальная линия пересечет диагональ точно в пропорции фи, как и вертикальную линию от головы до ступней. Если считать, что пупок находится в той совершенной точке, а не слегка выше для женщин или чуть ниже для мужчин, то это означает, что тело человека поделено в пропорции фи от макушки до ступней… Если бы эти линии были единственными, где в человеческом теле имеется пропорция фи, это, вероятно, было бы только интересным фактом. На самом деле пропорция фи обнаруживается в тысячах мест по всему телу, а это не просто совпадение. Вот некоторые явственные места в теле человека, где обнаруживается пропорция фи. Длина каждой фаланги пальца находится в пропорции фи к следующей фаланге… Та же пропорция отмечается для всех пальцев рук и ног. Если соотнести длину предплечья с длиной ладони, то получится пропорция фи, так же длина плеча относится к длине предплечья. Или отнесите длину голени к длине стопы и длину бедра к длине голени. Пропорция фи обнаруживается во всей скелетной системе. Она обычно отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление. Она также обнаруживается в отношениях размеров одних частей тела к другим. Изучая это, все время удивляешься».

Если поставить открытую ладонь вертикально перед собой, направив большой палец к лицу, и, начиная с мизинца, последовательно сжимать пальцы в кулак, получится движение, которое есть спираль Фибоначчи.

Литература

1. Энзензбергер Ханс Магнус Дух числа. Математические приключения. – Пер. с англ. – Харьков: Книжный Клуб «Клуб Семейного Досуга», 2004. – 272 с.

2. Энциклопедия символов /сост. В.М. Рошаль. – Москва: АСТ; СПб.; Сова, 2006. – 1007 с.

Источник

Спираль

Содержание

Типы [ править ]

Большинство резьб аппаратных винтов имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z форма ДНК левой рукой.

Шаг спирали является высота одного полного оборота спирали, измеренное параллельно оси спирали.

Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и теми же осями, отличаясь при перемещении вдоль оси. [3]

Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью [4], если ее касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно. [5]

Кривая называется наклонной спиралью, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. [6] Его можно построить, применив преобразование к движущейся системе отсчета общей спирали. [7]

Математическое описание [ править ]

По мере увеличения параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) отслеживает правую спираль с шагом 2 π (или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правая система координат.

Круговая спираль радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ) описывается следующей параметризацией:

Длина дуги, кривизна и кручение [ править ]

Длина круговой спирали радиуса a и наклона b / a (или шага 2 πb ), выраженная в прямоугольных координатах как

s ( t ) = ∫ 0 t a 2 + b 2 d τ = a 2 + b 2 t <\displaystyle s(t)=\int _<0>^<\sqrt +b^<2>>>d\tau =<\sqrt +b^<2>>>t>

Единичный касательный вектор равен

Единичный вектор нормали равен

Вектор бинормали равен

Примеры [ править ]

Естественная левосторонняя спираль, созданная вьющимся растением.

Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по спиральной траектории

Источник

Содержание

Спирали могут быть правосторонними или левосторонними. Если при взгляде вдоль оси спирали вращательное движение по часовой стрелке отодвигает спираль от наблюдателя, то это называется правой спиралью; если в сторону наблюдателя, то это левая спираль. Ручка (или хиральность) является свойством спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левосторонняя, если ее не смотреть в зеркало, и наоборот.

А двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтный) спирали с одинаковой осью, отличающиеся перемещением вдоль оси. [3]

А коническая спираль можно определить как спираль на конической поверхности, при этом расстояние до вершины экспоненциально зависит от угла, указывающего направление от оси. Примером может служить Штопор американские горки на Cedar Point парк культуры и отдыха.

А круговая спираль, (т.е. один с постоянным радиусом) имеет постоянную полосу кривизна и постоянный кручение.

Кривая называется общая спираль или цилиндрическая спираль [4] если его касательная составляет постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизна к кручение постоянно. [5]

Кривая называется наклонная спираль если его главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. [6] Его можно построить, применив преобразование к подвижной системе отсчета общей спирали. [7]

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из множества спиралей разной направленности, соединенных переходами, известными как усики извращения.

Математическое описание

Поскольку параметр т увеличивается, точка (Икс(т),у(т),z(т)) прослеживает правую спираль шага 2π (или наклон 1) и радиус 1 относительно z-ось в правой системе координат.

Круговая спираль радиуса а и наклон б/а (или шаг 2πb) описывается следующей параметризацией: